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【数学】オイラー積について軽く触れてみる

By ぐろこーん

このページでは、ゼータ関数のオイラー積について少し考えてみました。

オイラー積とは?

オイラー積は比較的有名ですが、知らない方のために簡単に説明します。

オイラー積とは、下のような等式のことを指します。また、これはゼータ関数($\zeta(x)$)というものです。

\[ \zeta(x) = \frac{1}{1^x} + \frac{1}{2^x} + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{4^x} + \ldots = \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{2^x}} \right) \left( \frac{1}{1-\frac{1}{3^x}} \right) \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{5^x}} \right) \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{7^x}} \right) \ldots\\ \]
右辺の、「○のx乗」という部分の ○ には素数が入ります。完結に表すと

\[ \zeta(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^x} = \prod_{p:prime}^{\infty} \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{p^x}} \right)\\ \]


となります。

何故かこの単純な無限和を変形すると、素数が現れる無限積になるというのが、オイラー積です。

今回は、こうなる理由を軽く分かりやすく説明しようと思います。

実際に変形してみる

簡単な解析接続をやった方なら、オイラー積という存在を知らなくても、オイラー積までたどり着くと思います。

それでは、実際にやってみたいと思います。イメージとしては、分母を因数分解する感じです。

\begin{align*} \zeta(x) &= 1 + \frac{1}{2^x} + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{4^x} + \ldots\\ \zeta(x) &= 1 + \frac{1}{2^x} \left( 1 + \frac{1}{2^x} + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{4^x} + \ldots \right) + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \ldots\\ \zeta(x) &= 1 + \frac{1}{2^x}\zeta(x) + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \ldots\\ \zeta(x) - \frac{1}{2^x}\zeta(x) &= 1 + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \ldots\\ \left(1 - \frac{1}{2^x} \right)\zeta(x) &= 1 + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \ldots\\ \left(1 - \frac{1}{2^x} \right)\zeta(x) &= 1 + \frac{1}{3^x} \left( 1 + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \ldots \right) + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \frac{1}{11^x} + \ldots\\ \left(1 - \frac{1}{2^x} \right)\zeta(x) &= 1 + \frac{1}{3^x} \left(1 - \frac{1}{2^x} \right)\zeta(x) + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \frac{1}{11^x} + \ldots\\ \left(1 - \frac{1}{2^x} \right)\zeta(x) - \frac{1}{3^x} \left(1 - \frac{1}{2^x} \right) \zeta(x) &= 1 + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \frac{1}{11^x} + \ldots\\ \left(1 - \frac{1}{3^x} \right) \left(1 - \frac{1}{2^x} \right)\zeta(x) &= 1 + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \frac{1}{11^x} + \ldots\\ \end{align*} これを続けて、

\begin{align*} \left( 1 - \frac{1}{2^x} \right) \left( 1 - \frac{1}{3^x} \right) \left( 1 - \frac{1}{5^x} \right) \left( 1 - \frac{1}{7^x} \right) \ldots \zeta(x) &= 1\\ \zeta(x) = \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{2^x}} \right) \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{3^x}} \right) \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{5^x}} \right) \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{7^x}} \right) \ldots \\ \end{align*}


このように、分母を出来るだけ小さい素数のx乗の倍数をまとめると、その前の式と同じ式が出てくるので、成り立ちます。

実際に変形してみると、何故素数が出てくるかが何となく分かりますよね。

それだとしても、素数が現れるのは面白いですよね。


以上、オイラー積についての話でした。

やってみた感想

僕がオイラー積があの形になる理由が分かったのは、ゼータ関数の自明な零点が意味不明で、ゼータ関数を解析接続しようとしたからです。

ノートに書く分にはいいのですが、これをMathJaxとして書くのは大変でした。

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