タグ:駿台模試の検索結果

【数学】駿台模試の問題を深めてみる

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], processEscapes: true }, CommonHTML: { matchFontHeight: false }, displayAlign: "left", displayIndent: "2em" }); 駿台模試を受けた感想 投稿が遅れました、申し訳ございません。 十数日前に、駿台模試がありました。 僕は、今回が2,3回目ぐらいですかね。 その駿台模試の数学で、とても、僕の性格に似た問題が出たので、今回はそれを紹介&深めていこうと思います。 駿台模試数学【4】 駿台模試の数学の【4】、これは恒等式についての問題でした。 受けた方は、印象に残った問題だったと思います。 受けてない方にもわかるように、大まかにどんな問題だったか説明したいと思います。 ※著作権侵害を防ぐため、多少問題文を伏せます。(3)だけは詳しく書きます。 【4】 (1) ~が恒等式となるときの$a, b, c$の値を求めなさい。 (答えを代入すると、$-(x^2 - 7) + (x - 2)(x + 2) = 3$、となる) (2) 正式~を$(x - 2)$で割ったときの余りを求めなさい。 (剰余定理で簡単に512と導ける。また、今回は、この正式を$S(x)$とおく。) (3)整数係数の正式$f(x), g(x)$に対し、 $f(x) \sim g(x)$ とは $f(x) - g(x) = (x^2 - 7)p(x) + (x - 2)q(x)$がxについての恒等式 となるような整数係数の整式$p(x), q(x)$が存在する ということであると定義する。 (i) (1),(2)を用いて、$S(x) \sim 2$ であることを示せ。 (ii) 整数係数のすべての整式$f(x)$に対し、 $f(x) \sim 0$ または、$f(x) \sim 1$ または、$f(x) \sim 2$ が成り立つ事を示せ。 (iii) $a, b$ を 0 以上 2 以下の整数とするとき、$a \sim b$のとき、$a = b$であることを示せ。 といった感じです。 いかにも作成者の人間味が出てる問題だと思います。 こういった問題は、テスト対策だけじゃ解けない問題ですね。 ですが、僕は相性が良かったというか、僕の数学のタイプに似た問題だったので、解けました。 という訳で、今回は、この問題を深めていきます。 【4】(3)(ii)の証明 まずは、この証明を見てイメージを湧かせましょう。 自分で証明はしましたが、多少模範解答に寄せて書きます。 まず、 $f(x) = (x - 2)P(x) + R$ とおく。 また、$R = 3m + n$($0 \leqq n \leqq 2$ かつ $(m, n)$は整数)とおく。 すると、$f(x) = (x - 2)P(x) + 3m + n$ ここで、(1)より、 $3 = -(x^2 - 7) + (x - 2)(x + 2)$なので、 \begin{eqnarray*} f(x) - n &=& (x - 2)P(x) + 3m \\ &=& (x - 2)P(x) + \left\{ -(x^2 - 7) + (x + 2)(x - 2) \right\} * m \\ &=& (x^2 - 7) * (-m) + (x - 2) \left\{ P(x) + m(x + 2) \right\} \end{eqnarray*} よって、$f(x) \sim n$ が成り立つ。 ここで、$0 \leqq n \leqq 2$ かつ$n$は整数より、 $f(x) \sim 0$ または、$f(x) \sim 1$ または、$f(x) \sim 2$ といった感じです。 証明を見れば、案外普通の数学の問題という感じがしますよね。 ですが、問題のアイディア自体はとても面白くないでしょうか? というわけで、深めていこうと思います。 (3)の定義を拡張 さて、ここから面白くしていきます。 まず、定義を拡張、そして多少変更しましょう。 $f(x) \sim g(x)[a,b]$ とは $f(x) - g(x) = (x^2 + a)p(x) + (x + b)q(x)$ が$x$についての恒等式 となるような整数係数の整式$p(x), q(x)$が存在する。ただし$a, b$は整数。 ということであると定義する。 少し自由度が増しました。 それでは、研究していきましょう。 $f(x) \sim g(x)[a,b]$について 早速、(3)と同じように考えていこうと思います。 まず、準備として、下のような恒等式を証明しておきます。 \begin{eqnarray} (x^2 + a) &-&(x + b)(x - b)\\ &=& x^2 + a - x^2 + b^2\\ &=& a + b^2 \end{eqnarray} つぎに、$f(x), g(x)$を変形、置き換えします。 \begin{equation} \begin{cases} f(x) = (x + b)P(x) + s(a + b^2) + u\\ g(x) = (x + b)Q(x) + t(a + b^2) + v \end{cases} \end{equation} とおく。 ただし、 \begin{equation} \begin{cases} 0 \leqq u < a + b^2 \\ 0 \leqq v < a + b^2 \end{cases} \end{equation} とし、$s, t, u, v$は整数とする。 それでは、本命である、$f(x) - g(x)$の変形を行っていこうと思います。 \begin{eqnarray*} f(x) - g(x) &=& (x + b)(P(x) - Q(x)) + (s - t)(a + b^2) + u - v \\ &=& (x + b)(P(x) - Q(x)) + (s - t){(x^2 + a) - (x - b)(x + b)} + u - v\\ &=& (s - t)(x^2 + a) + (x + b)(P(x) - Q(x) + (s - t)) + u - v \end{eqnarray*} よって、$f(x) \sim g(x)[a,b]$である時、 \begin{equation} u - v = 0 \end{equation} ゆえに、$f(x) \sim g(x)[a,b]$が成り立つ条件は、 \begin{equation} f(-b) - g(-b) \equiv 0 (mod (a + b^2)) \end{equation} となる。 このような感じになりました。 終わりに 今回はこの程度にしておきます。 皆さんも、他人の作った問題を、深く考察してみてはどうでしょうか。 以上、駿台模試の問題についての話でした。

最近人気な記事


【プログラミング】C/C++ のメリットデメリット

【ソフト制作】MSC(麻雀点数計算ソフト) page.4

【数学】[分からない人向け]ベクトルの一次独立のイメージの仕方

【数学】オイラー積について軽く触れてみる

【数学】グラフの長さを求める公式を求めてみた PART 1

総括管理人のおすすめ


【数学】ラグランジュの補間を求める[長記事]

【数学】グラフの長さを求める公式を求めてみた PART 1

【数学】グラフの長さを求める公式を求めてみた PART 2

【数学】[分からない人向け]直線を表すベクトル、p = sa + tb (s + t = 1) って結局どういうイメージなのか

【数学】[分からない人向け]ベクトルの一次独立のイメージの仕方