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【数学】オイラー積について軽く触れてみる

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], processEscapes: true }, CommonHTML: { matchFontHeight: false }, displayAlign: "left", displayIndent: "2em" }); オイラー積とは? オイラー積は比較的有名ですが、知らない方のために簡単に説明します。 オイラー積とは、下のような等式のことを指します。また、これはゼータ関数($\zeta(x)$)というものです。 \[ \zeta(x) = \frac{1}{1^x} + \frac{1}{2^x} + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{4^x} + \ldots = \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{2^x}} \right) \left( \frac{1}{1-\frac{1}{3^x}} \right) \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{5^x}} \right) \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{7^x}} \right) \ldots\\ \] 右辺の、「○のx乗」という部分の ○ には素数が入ります。完結に表すと \[ \zeta(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^x} = \prod_{p:prime}^{\infty} \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{p^x}} \right)\\ \] となります。 何故かこの単純な無限和を変形すると、素数が現れる無限積になるというのが、オイラー積です。 今回は、こうなる理由を軽く分かりやすく説明しようと思います。 実際に変形してみる 簡単な解析接続をやった方なら、オイラー積という存在を知らなくても、オイラー積までたどり着くと思います。 それでは、実際にやってみたいと思います。イメージとしては、分母を因数分解する感じです。 \begin{align*} \zeta(x) &= 1 + \frac{1}{2^x} + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{4^x} + \ldots\\ \zeta(x) &= 1 + \frac{1}{2^x} \left( 1 + \frac{1}{2^x} + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{4^x} + \ldots \right) + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \ldots\\ \zeta(x) &= 1 + \frac{1}{2^x}\zeta(x) + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \ldots\\ \zeta(x) - \frac{1}{2^x}\zeta(x) &= 1 + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \ldots\\ \left(1 - \frac{1}{2^x} \right)\zeta(x) &= 1 + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \ldots\\ \left(1 - \frac{1}{2^x} \right)\zeta(x) &= 1 + \frac{1}{3^x} \left( 1 + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \ldots \right) + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \frac{1}{11^x} + \ldots\\ \left(1 - \frac{1}{2^x} \right)\zeta(x) &= 1 + \frac{1}{3^x} \left(1 - \frac{1}{2^x} \right)\zeta(x) + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \frac{1}{11^x} + \ldots\\ \left(1 - \frac{1}{2^x} \right)\zeta(x) - \frac{1}{3^x} \left(1 - \frac{1}{2^x} \right) \zeta(x) &= 1 + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \frac{1}{11^x} + \ldots\\ \left(1 - \frac{1}{3^x} \right) \left(1 - \frac{1}{2^x} \right)\zeta(x) &= 1 + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \frac{1}{11^x} + \ldots\\ \end{align*} これを続けて、 \begin{align*} \left( 1 - \frac{1}{2^x} \right) \left( 1 - \frac{1}{3^x} \right) \left( 1 - \frac{1}{5^x} \right) \left( 1 - \frac{1}{7^x} \right) \ldots \zeta(x) &= 1\\ \zeta(x) = \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{2^x}} \right) \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{3^x}} \right) \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{5^x}} \right) \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{7^x}} \right) \ldots \\ \end{align*} このように、分母を出来るだけ小さい素数のx乗の倍数をまとめると、その前の式と同じ式が出てくるので、成り立ちます。 実際に変形してみると、何故素数が出てくるかが何となく分かりますよね。 それだとしても、素数が現れるのは面白いですよね。 以上、オイラー積についての話でした。 やってみた感想 僕がオイラー積があの形になる理由が分かったのは、ゼータ関数の自明な零点が意味不明で、ゼータ関数を解析接続しようとしたからです。 ノートに書く分にはいいのですが、これをMathJaxとして書くのは大変でした。

【数学】グラフの長さを求める公式を求めてみた PART 1

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], processEscapes: true }, CommonHTML: { matchFontHeight: false }, displayAlign: "left", displayIndent: "2em" }); ご了承ください 僕は、現時点では、無限積や積分を習っていません。 多少のミスや間違いはご了承ください。 PART 分割について 今回は、長くなりそうなので、PART分割する事にしました。 次の記事は明日に投稿する予定なので、是非そちらもよろしくお願いします。 プロローグ:数学が好きなら、いつかは思うであろうこと グラフの長さを求めたい! 数学が好きなら、いつかは思う事なのではないでしょうか。 僕は微分を学習(独学)したときに思いました。 今回は、その「グラフの長さ」を求めて(一般化して)みたので、それを書いていこうと思います。 ちなみに、求めた後先生に見せたら、「数IIIでやる」とのことでした...。 準備:シグマと積分の関係 PART 1 では、これを求めていきます。 これは、解く流れで言ったら、終盤で必要になりますが、 先に証明しておいた方が、説明しやすいので、先に書くことにしました。 積分というのは、微分の逆であり、面積を求める事が出来るのでしたよね。 今回は、面積を求める、という事を使っていきます。 この、緑っぽい色 の面積を$S_1(x_1)$とおきます。 すると、面積は4つの長方形の合計となるので、以下のような等式が成り立ちます。 \begin{eqnarray*} S_1(x_1) &=& \sum_{k = 1}^4 \frac{x_1}{4}\cdot f\left(\frac{k}{4} x_1\right) \\ \\ &=& \frac{x_1}{4}\sum_{k = 1}^4 f\left(\frac{k}{4} x_1\right) \end{eqnarray*} ここで、長方形の個数を $t$ 個とした時の面積を考えてみましょう。 すると、以下のようになるのではないでしょうか。 \begin{eqnarray*} S_1(x_1) &=& \sum_{k = 1}^{t} \frac{x_1}{t}\cdot f\left( \frac{k}{t}x_1 \right) \\ \\ &=& \frac{x_1}{t} \sum_{k = 1}^{t} f\left( \frac{k}{t}x_1 \right) \end{eqnarray*} そしてこの時、$t$の値を限りなく大きくしたら、下の赤い部分の面積 と一致するのではないでしょうか。 よって、下の式が成り立つ事になります。 \begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} \frac{x_1}{t} \sum_{k = 1}^{t} f\left(\frac{k}{t} x_1\right) = \int_{0}^{x_1}f(u)du \tag{1} \end{eqnarray*} ちなみに、これも数IIIでやるそうです...。 というわけで、次回は、これを使ってグラフの長さを求めていこうと思います。 PART 2 のお知らせ 明日に PART 2 を投稿します。 PART 2↓ 【数学】グラフの長さを求める公式を求めてみた PART 2

【数学】グラフの長さを求める公式を求めてみた PART 2

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], processEscapes: true }, CommonHTML: { matchFontHeight: false }, displayAlign: "left", displayIndent: "2em" }); ご了承ください 僕は、現時点では、無限積や積分を習っていません。 多少のミスや間違いはご了承ください。 PART 分割について 今回は、長くなりそうなので、PART分割する事にしました。 次の記事は明日に投稿する予定なので、是非そちらもよろしくお願いします。 グラフの長さを求める それでは、本題である、グラフの長さを求めようと思います。 前回の、積分とシグマの関係と同じように、少しずつ抽象化(一般化)していきます。 まずは、下の画像を見て下さい。 この の長さを$L_1(x_1)$とすると、 \begin{eqnarray*} L_1(x_1) = \sum_{k = 1}^{4} \sqrt{\left(f\left(\frac{k - 1}{4}x_1 \right) - f\left(\frac{k}{4}x_1\right) \right)^2 + \left(\frac{x_1}{4}\right)^2} \\ \\ \end{eqnarray*} これは、三平方の定理を利用しています。では、前回のように、$t$個の線分があると考えると、$L_1(x_1)$は、 \begin{eqnarray*} L_1(x_1) = \sum_{k = 1}^{t} \sqrt{\left(f\left(\frac{k - 1}{t}x_1 \right) - f\left(\frac{k}{t}x_1\right) \right)^2 + \left(\frac{x_1}{t}\right)^2} \\ \\ \end{eqnarray*} となります。 しかし、この式自体はさほど意味はありません。 重要な事は、この式が、一次関数の線分の和を表しているという事です。 それでは、$t$を限りなく大きくした場合の事を考えます。 すると、下の画像のようになり、それは、グラフの長さと一致するはずです。 上のように、$x = x_0$の点において、底辺は$\frac{x_1}{t}$なので、 高さは、(底辺)×(傾き)となり、$\frac{x_1}{t}f'(x_0)$となります。 よって斜辺の長さは$\sqrt{\left(\frac{x_1}{t}f'(x_0)\right)^2 + \left(\frac{x_1}{t}\right)^2}$となり、つまりは、 $\frac{x_1}{t}\sqrt{f'(x_0)^2 + 1}$となります。 よって、グラフの長さをL_2(x_1)とすると、 \begin{eqnarray*} L_2(x_1) &=& \lim_{t = 1} \sum_{k = 1}^{t} \frac{x_1}{t}\sqrt{f'(\frac{k}{t}x_1)^2 + 1} \\ \\ &=& \lim_{t = 1} \frac{x_1}{t} \sum_{k = 1}^{t} \sqrt{f'(\frac{k}{t}x_1)^2 + 1} \end{eqnarray*} ここで、前回求めた(1)を使って、以下の式が得られます。よって、 \begin{eqnarray*} L_2(x_1) = \int_{0}^{x_1} \sqrt{f'(u)^2 + 1}du \end{eqnarray*} となります。つまり、これがグラフの長さを求める公式というわけです。 つまりは、下の の長さなわけです。 終わりに いかかだったでしょうか。 個人的には、結構自信作の記事です。 是非他の記事も見ていって下さると嬉しいです。 以上、グラフの長さについての話でした。

【数学】ラグランジュの補間を求める[長記事]

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], processEscapes: true }, CommonHTML: { matchFontHeight: false }, displayAlign: "left", displayIndent: "2em" }); 「ラグランジュの補間」について書く理由 今回この「ラグランジュの補間」についての記事を書こうと思ったのは、僕がこれを発見したからです。 という事で、今回は、僕が見つけた、ラグランジュの補間について、書いていこうと思います。 ラグランジュの補間とは:発見と目的 僕も、ラグランジュの補間を発見したことによって、ラグランジュの補間を知ったので、ラグランジュの補間というものを知らない人も多いのではないでしょうか。 まずは、ラグランジュの補間をどういう経緯で発見したのか、そしてどういうものかを説明します。 ラグランジュの補間の発見と目的 それで、結局ラグランジュの補間って何?という話ですが、それは、発見した経緯と共に話す事にします。 ラグランジュの補間というのは、結構誰でも考えそうな事を、式にしたものです。 例えば、下の画像を見てみてください。 この座標平面上の点について考えてみてください。 この点、無理やり曲線を作れそうに見えませんかね? 多分、皆さん、下の画像のようなグラフを思い浮かべたのではないのでしょうか。 まぁ、そりゃそうだ、というような感じですよね。 このように、いくつかの点をグラフにする、という発想から、ラグランジュの補間は発見されました。 つまり、ラグランジュの補間というのは、 「複数個の座標平面の点を通る滑らかなグラフを求めるためもの」というものです。 僕の見つけた、ラグランジュの補間 ラグランジュの補間とはどういうものか、という事を知ったところで、早速その内容について考えていこうと思います。 まずは、ラグランジュの補間の定義について見ていきましょう。 ちなみに、僕自身ラグランジュの補間についてはにわかなので、以下の式は、某数学サイトのものと合わせて書いてあります。 全てのx座標が異なる、n+1個の点($x_k$, $y_k$)($ 1 \leqq k \leqq n+1 $)について、 そのすべての点を通る多項式P(x)は一つに定まり、以下のように表される。 $f_i(x)=\displaystyle\prod_{k\neq i}(x-x_k)$ としたとき、 $P(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}y_i\dfrac{f_i(x)}{f_i(x_i)}$ とまぁ、そうとう謎ですよね。 という事で、これから解説していきます。 僕は、n個の点で考えたので、そちらで書きます。(やり方は全く変わりません。) xy座標平面上にx座標が違うn個の点$(x_k, y_k)$を通る曲線について考える。 その曲線を$F(x)$とする。今回は、これを求める対象である。 ここで、$x = x_i$ において $y_i$ となり、それ以外の点$(x = x_j)$においては 0 となる式について考える。 その項を$f_i(x)$とする。(最初の定義の$f_i(x)$とは別物です。) まずは、$x = x_i$ 以外において 0 となるような式を作る。 その式を $A_i(x)$ とすると、 \begin{eqnarray*} A_i(x) &=& (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) \cdots (x - x_{i - 1})(x - x_{i + 1}) \cdots (x - x_{n - 1})(x - x_n) \\ &=& \left( \prod_{k = 1}^{i - 1} (x - x_k) \right) \left( \prod_{k = i + 1}^{n} (x - x_k ) \right) \\ \end{eqnarray*} (最初に紹介した定義では、$k \neq i$ という表現をしていましたが、僕は上のような表現を使用しました。) 次に、$A_i(x)$ に掛けたら、$y_i$となるような式を考える。 ここで、$A_i(x)$ に $x_i$ が代入された時、$y_i$となる。(これが $f_i(x)$ である。) $A_i(x)$に、$y_i$を掛けて、さらに $B_i$ を掛ける事で、$y_i$となるようにする、という考え方をする。 \begin{eqnarray*} f_i(x) = y_i A_i(x) B_i \end{eqnarray*} $x_i$を代入して考えると、以下のような式となる。 $f_i(x)$ は、$x_i$を代入した時、$y_i$となるので、 \begin{eqnarray*} y_i = y_i A_i(x_i) B_i \\ B_i = \frac{1}{A_i(x_i)} \\ \end{eqnarray*} よって、 \begin{eqnarray*} f_i(x) &=& y_i \frac{A_i(x)}{A_i(x_i)} \\ &=& y_i \frac{\left( \prod_{k = 1}^{i - 1} (x - x_k) \right) \left( \prod_{k = i + 1}^{n} (x - x_k ) \right)}{\left( \prod_{k = 1}^{i - 1} (x_i - x_k) \right) \left( \prod_{k = i + 1}^{n} (x_i - x_k ) \right)} \\ &=& y_i \left( \prod_{k = 1}^{i - 1} \frac{x - x_k}{x_i - x_k} \right) \left( \prod_{k = i + 1}^{n} \frac{x - x_k}{x_i - x_k} \right) \end{eqnarray*} ここで、$f_i(x)$は、$x_i$以外の、設定された点のx座標を代入した時、0となり、 $x_i$を代入した時、$y_i$となることより、 iが1の時から、nの時までの$f_i(x)$を足した式でも、$x_i$を代入した時、$y_i$となる。 故に、その式が$F(x)$と一致する。 ※kをjに変更しています。 \begin{eqnarray*} F(x) &=& \sum_{i = 1}^{n} f_i(x) \\ &=& \sum_{i = 1}^{n} y_i \left( \prod_{j = 1}^{i - 1} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \right) \left( \prod_{j = i + 1}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \right) \end{eqnarray*} これで、解説終了です。 最後に どうだったでしょうか。 今回は、大きめの記事でした。 ミスがあったら、指摘してくださると嬉しいです。

【数学】虚数の対数を求めてみる。

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], processEscapes: true }, CommonHTML: { matchFontHeight: false }, displayAlign: "left", displayIndent: "2em" }); 今回求める事 今回求めるのは、$\log(z)$です。もちろん、$z$は虚数です。 求めるというのは、実部と虚部で分ける、つまり$a + bi$の形で表すという事です。 今回は、比較的簡単ですので、のんびりご覧ください。 虚数平面と偏角 まずは、$z$の偏角$\arg(z)$について解説していこうと思います。 $z = a + bi$ とおいて考えます。 こんな変なブログに行きつくような人は知ってるとは思いますが、偏角$\arg(z)$とは、以下の事を表します。 よって、偏角$\arg(z)$は、以下のような式で表されます。 \begin{equation} \arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \end{equation} また、$z = ae^{\phi i}$ と表した時、$z = a(\cos(\phi) + i\sin(\phi))$ より、 \begin{eqnarray*} \arg(z) &=& \tan^{-1}\left(\frac{a\sin(\phi)}{a\cos(\phi)}\right) &=& \tan^{-1}\left(tan(\phi)\right) &=& \phi \end{eqnarray*} この式を利用していきます。 虚数の絶対値 絶対値とは、$0$(原点)からの距離の事です。 よって、虚数$z = a + bi$の絶対値$|z|$は、以下の長さの事を表します。 ゆえに、絶対値は以下の式で表す事ができます。 $z = a + bi$ の絶対値は、 \begin{equation} |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \end{equation} $z = ae^{\phi i}$の絶対値は、 \begin{equation} z = a\cos(\phi) + ia\sin(\phi) \end{equation} より、 \begin{equation} |z| = \sqrt{a^2(\cos^2(\phi) + \sin^2(\phi))} = a \end{equation} この式も利用します。 $\log(z)$を求める $\log(z)$は、$\arg(z)の式を変形する事で求める事が出来ます。 それでは早速、実践していこうと思います。 $z = ae^{x i}$ とおくと、 \begin{eqnarray*} x &=& \arg(z) \\ \log(e^x) &=& \arg(z) \\ \log((e^{xi})^{-i}) &=& \arg(z) \\ -i\log(e^{xi}) &=& \arg(z) \\ \log \left(\frac{z}{a}\right) &=& i\arg(z) \\ \log(z) - \log(a) &=& i\arg(z) \\ \log(z) &=& \log(a) + i\arg(z) \end{eqnarray*} $|z| = a$より、 \begin{equation} \log(z) = \log|z| + i\arg(z) \end{equation} これで、実部と虚部に分ける事が出来ました。 思った以上に書くことが無かったので、少し無駄な表現があったと思いますが、最後まで閲覧ありがとうございました。 以上、$log(z)$ についての話でした。

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