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【数学】exp(x)の解析接続を、独自のやり方で直接的に理解する PART 1

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], processEscapes: true }, CommonHTML: { matchFontHeight: false } }); ご了承ください 僕は現在、まだ無限和、無限積を習っていません。 なので、いろいろおかしな所があってもご了承ください。 PART分割では何をするか PART 1 では、$e^x$を一般的なやり方で解析接続をしていきます。 PART 2 では、$e^x$の解析接続を独自の方法でやっていきます。(明日投稿します。) $e^x$の一般的な解析接続 まずは、どうやって$e^x$を解析接続をしたのかを振り返ります。 もちろん、微分を使っていきます。 苦情が来ないように出来るだけ丁寧に書きますが、ミスしていたらすみません。 \begin{eqnarray*} y &=& e^x\\ \\ \frac{dy}{dx} &=& \lim_{h \to 0}\frac{e^{x + h} - e^x}{h} \\ \\ &=& \lim_{h \to 0}\frac{e^x e^h - e^x}{h} \\ \\ &=& e^x\lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h} \\ \\ &=& e^x\lim_{h \to 0}\frac{\left(\left(1 + h\right)^\frac{1}{h}\right)^h - 1}{h} \\ \\ &=& e^x\lim_{h \to 0}\frac{\left(1 + h\right)^{\frac{1}{h} \cdot h}}{h} \\ \\ &=& e^x\lim_{h \to 0}\frac{1 + h - 1}{h} \\ \\ &=& e^x \\ \\ \end{eqnarray*} とりあえず$e^x$が微分できました。 まぁ、これを証明する必要があるのかどうかは微妙ですが、一応やっておきました。 では、これを利用して、解析接続された形を導いていきます。 \[ e^x = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots \tag{1} \\ \\ \] とおく。($a_n$を$x^n$の係数とおく。) (1)に x = 0を代入すると、 \[ 1 = a_0 \tag{2} \\ \\ \] (1)で両辺を微分すると、 \[ e^x = a_1 + 2 a_2 x + 3 a_4 x^2 + 4 a_4 x^3 + \cdots \tag{3} \\ \\ \] これに x = 0 を代入すると、 \[ 1 = a_1 \tag{4} \\ \\ \] さらに(3)で両辺を微分すると、 \[ e^x = 2 \cdot 1 a_2 + 3 \cdot 2 a_3 x + 4 \cdot 3 a_4 x^2 + 5 \cdot 4 a_5 x^3 + \cdots \tag{5} \\ \\ \] これに x = 0 を代入すると、 \[ 1 = 2! a_2 \\ \\ a_2 = \frac{1}{2!} \tag{6} \\ \\ \] このように、$a_n$ は $n!$ と一致する事が分かる。 (1)で両辺をn階微分して、x = 0 を代入すると、 \[ 1 = n! a_n \\ \\ a_n = \frac{1}{n!} \\ \\ \] よって、 \begin{eqnarray*} e^x &=& \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \\ \\ &=& 1 + \frac{x}{1} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \end{eqnarray*} こんな感じでしょうか。 まぁ、これも証明する必要あったのか...とは思いますが、一応しました。 証明になっているかどうか、と言われたらそれもそれでどうかとは思いますが。 PART 2 のお知らせ 早くて6月6日、遅くてテスト後に以下のURLにてPART 2 を投稿します。 exp(x)の解析接続を、独自のやり方で直接的に理解する PART 2 是非ご覧ください。

【数学】exp(x)の解析接続を、独自のやり方で直接的に理解する PART 2

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], processEscapes: true }, CommonHTML: { matchFontHeight: false } }); ご了承ください 僕はまだあまり無限和、無限積を学習していません。 なので、何か間違っていても、ご了承ください。 また、その時は連絡をください。 PART 1 のお知らせ この記事は、タイトル通り、PARTで分割されています。 パート1はこちらです。 【数学】exp(x)の解析接続を、独自のやり方で直接的に理解する PART 1 $e^x$を微分以外で解析接続を疑似的に理解する それでは、PART 2 では、解析接続された状態の$e^x$をより理解できるような変形をしていきたいと思います。 まずは、$e^x$の解析接続の形ですが、無限和となっていますよね。 しかし、$e^x$とは、本来無限積の形であるはずです。 つまり、無限積→無限和の変換が行われている事が分かります。 では、積を和にするという事で、僕は二項定理に注目して考えてみました。 という事で、これから変形していきます。 \begin{eqnarray*} e^x &=& \lim_{h \to \infty}\left( 1 + \frac{1}{h} \right)^{xh} \\ \\ \text{ここで二項定理を使います。} \\ \\ &=& \lim_{h \to \infty} \sum_{k = 0}^{xh}{}_{xh} C_{k}\left(\frac{1}{h}\right)^{k} \\ \\ &=& \lim_{h \to \infty} \sum_{k = 0}^{xh}\frac{{}_{xh} P_{k}}{k!} \frac{1}{h^k} \\ \\ &=& \lim_{h \to \infty} \sum_{k = 0}^{xh}\frac{1}{k!} \frac{{}_{xh} P_{k}}{h^k}\tag{1} \\ \\ \end{eqnarray*} ここで一旦、$ \frac{{}_{xh} P_{k}}{h^k}$ を変形したいと思います。 上の式の中で変形しようとすると、少し分かりにくくなるからです。 また、今回は、x も h も k もただの文字として扱います。よっていちいち極限などを定義しません。 \begin{eqnarray*} {}_{xh} P_{k} &=& xh(xh - 1)(xh - 2)(xh - 2) \cdots (xh - k + 1) \\ \\ &=& xh^k + a_1 (xh)^{k - 1} + a_2 (xh)^{k - 2} + a_3 (xh)^{k - 3} + \cdots + a_{k - 1} (xh)^{2} + a_k (xh)^{0} \\ \end{eqnarray*} 両辺を$h^k$で割る。 \begin{eqnarray*} \frac{{}_{xh} P_{k}}{h^k} &=& x^k + \frac{1}{h}\left(\cdots \right) \tag{2}\\ \\ \end{eqnarray*} それでは(2)を(1)に代入します。 \begin{eqnarray*} e^x &=& \lim_{h \to \infty} \sum_{k = 0}^{xh} \frac{1}{k!}\left(x^k + \frac{1}{h}(\cdots)\right) \\ \\ &=& \lim_{h \to \infty} \sum_{k = 0}^{xh} \left(\frac{x^k}{k!} + \frac{1}{h}(\cdots)\right) \\ \\ \text{ここで、}\lim_{h \to \infty}\frac{1}{h}(\cdots) \to 0 \text{より、} \\ \\ &=& \lim_{h \to \infty} \sum_{k = 0}^{xh} \frac{x^k}{k!} \\ \\ \text{また、}\lim_{h \to \infty}xh \to \infty \text{よりt = xhとおくと、} \\ \\ &=& \lim_{t \to \infty} \sum_{k = 0}^{t} \frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*} はい、どうでしょうか? こちらの解析接続のほうが、人間としては理解しやすいと思います。 まぁ、無理やり感はありますが、一応解析接続できます。 という訳で、今回は終了です。 終えて感想 今回は、結構書くのに時間がかかりました。 しかし、久しぶりに数学の記事が書けたので、すっきりしました。

【数学】連続する自然数の和で表せる数と規則性(証明)

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ["\\(","\\)"]] } }); MathJax.Hub.Config({ displayAlign: "left" }); div.horizontal-scroll { overflow-x : scroll; } この記事を書くに至った経緯 今日は連続する自然数の和で表される自然数について書いていきたいと思います。 今日の部活で$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$について友達と話し合っていたのですが、それが連続する自然数の和で表される自然数についての議論に発展しました。 まぁ、知っている方は知っていると思います。 そこからいろいろ考えていった結果、表せる自然数の規則性とそれの証明がなんとなく出来ました。 それでもって、今回は連続する自然数の和について触れていきたいと思います。 規則性を予想 5 = 2 + 3 17 = 8 + 9 24 = 7 + 8 + 9 32 = ...?? さあ、もうすでに上の式で気づいている方もいるかもしれませんが、簡単な規則性があります。 まずは、足している自然数の個数についてです。 3 = 1 + 2, 5 = 2 + 3, 7 = 3 + 4 などなど、自然数が奇数の時は、連続する2つの自然数で表すことができますよね。では偶数ではどうでしょうか。 2 = ?, 4 = ?, 6 = 1 + 2 + 3, 8 = ?, 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 12 = 3 + 4 + 5 偶数に関してはよく分からないように見えますが、$2^r$となるものだけ、表せてないですよね。 こんな感じで、16ぐらいまでやると、$2^r$ で表される自然数のみ、連続する自然数の和で表すことが出来なさそうですよね。1も不可能ですね。 では実際に証明をして、確かめてみましょう。 規則性の証明 僕の証明は独創的だと、東○ゼミナールの先生方が言っていたので、ご注意ください。 分かりにくかったら、twitterかinfo@progblog-note.comにて、聞いてください。 \[ n = \sum_{k=a}^b k \\ (n, a, b はともに自然数とする)\\ これを満たすnは1以外の 2^r ( r は自然数)で表すことが出来ない自然数である。\\ .\\ [証明]\\ p, q, r を自然数とする。\\ .\\ i) nが奇数の倍数の時\\ n = (2p + 1)q = \sum_{k=-p}^p (q + k)\tag{1}\\ p < q の時、(1)の(q + k)はすべて自然数となる。\\ p ≧ q の時、\\ r = p - qとすると、 n > 0 より、r < (q + p) であるので、下のように式変形できる\\ \] \begin{align*} n &= (q - p) + (q - p + 1) + (q - p + 2) + \cdots + 0 + \cdots + (q + p - 1) + (q + p)\\ &= -r + (-r + 1) + (-r + 2) + \cdots + 0 + \cdots + (r - 2) + (r - 1) + r \cdots + (q + p - 1) + (q + p)\\ &= \sum_{k=r+1}^{p + q} k\\ &= \sum_{k=p-q+1}^{p + q} k\\ \end{align*} \[ このように、p < q の時、p ≧ q の時、どちらも連続する自然数の和で表される。\\ .\\ ii) nが奇数の倍数でない時、すなわち、nが2^rで表される時\\ まず、nは連続する自然数の和で表すことが出来る。\\ .\\ n = 2pq と表すことができる。\\ nは奇数の倍数でないので、p, qも奇数の倍数でない。\tag{2}\\ nは2pで割ることが出来るので、2p個の連続する自然数の和として計算することができる。\\ しかし、ここで、2p個の連続する自然数の和を計算しようとすると、\\ \] \begin{align*} n &= (q - p + 1) + (q - p + 2) + (q - p + 3) + \cdots + (q + p - 2) + (q + p - 1) + (q + p)\\ &= 2q + p\\ \end{align*} \[ となって、pが余ってしまう。ここで、\\ n = 2pq と定めたので、 \] \begin{align*} 2pq &= 2q + p\\ p(2q + 1) &= 2q\\ \end{align*} \[ p, qは自然数であるので、p(2q + 1)は奇数の倍数である。すなわち、2qは奇数の倍数である。\\ ここで、(2)と反するので、仮定が間違っている。\\ つまり、nは連続する自然数の和で表す事ができない。\\.\\ iii)n=1の時\\ 1を連続する自然数の和で表せないことは自明である\\.\\.\\ i)ii)iii)より、連続する自然数の和で表されるのは、1以外で、2^rで表すことのできない自然数すべてである。\\ 終了 \] \[ まぁ、こう言われると、少し分かりにくいですが\\ ようは、1と2^rと表せる自然数のみ連続する自然数の和で表せないという事です。 \] 証明の感想 思っていた通り、なんとも説明しにくい証明方法でした。 もし受験でこの証明問題が出たとして、これで通るかどうかと言われたら、何とも言えないですね。部分点ぐらいは貰えるとは思いますが。 MathJaxを使用した証明でしたので、打つのが面倒でしたが、プログラミングに似ているものがあるので、少し楽しかったです。 証明に間違っている所があれば、お願いします。

【数学】グラフの長さを求める公式を求めてみた PART 1

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], processEscapes: true }, CommonHTML: { matchFontHeight: false }, displayAlign: "left", displayIndent: "2em" }); ご了承ください 僕は、現時点では、無限積や積分を習っていません。 多少のミスや間違いはご了承ください。 PART 分割について 今回は、長くなりそうなので、PART分割する事にしました。 次の記事は明日に投稿する予定なので、是非そちらもよろしくお願いします。 プロローグ:数学が好きなら、いつかは思うであろうこと グラフの長さを求めたい! 数学が好きなら、いつかは思う事なのではないでしょうか。 僕は微分を学習(独学)したときに思いました。 今回は、その「グラフの長さ」を求めて(一般化して)みたので、それを書いていこうと思います。 ちなみに、求めた後先生に見せたら、「数IIIでやる」とのことでした...。 準備:シグマと積分の関係 PART 1 では、これを求めていきます。 これは、解く流れで言ったら、終盤で必要になりますが、 先に証明しておいた方が、説明しやすいので、先に書くことにしました。 積分というのは、微分の逆であり、面積を求める事が出来るのでしたよね。 今回は、面積を求める、という事を使っていきます。 この、緑っぽい色 の面積を$S_1(x_1)$とおきます。 すると、面積は4つの長方形の合計となるので、以下のような等式が成り立ちます。 \begin{eqnarray*} S_1(x_1) &=& \sum_{k = 1}^4 \frac{x_1}{4}\cdot f\left(\frac{k}{4} x_1\right) \\ \\ &=& \frac{x_1}{4}\sum_{k = 1}^4 f\left(\frac{k}{4} x_1\right) \end{eqnarray*} ここで、長方形の個数を $t$ 個とした時の面積を考えてみましょう。 すると、以下のようになるのではないでしょうか。 \begin{eqnarray*} S_1(x_1) &=& \sum_{k = 1}^{t} \frac{x_1}{t}\cdot f\left( \frac{k}{t}x_1 \right) \\ \\ &=& \frac{x_1}{t} \sum_{k = 1}^{t} f\left( \frac{k}{t}x_1 \right) \end{eqnarray*} そしてこの時、$t$の値を限りなく大きくしたら、下の赤い部分の面積 と一致するのではないでしょうか。 よって、下の式が成り立つ事になります。 \begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} \frac{x_1}{t} \sum_{k = 1}^{t} f\left(\frac{k}{t} x_1\right) = \int_{0}^{x_1}f(u)du \tag{1} \end{eqnarray*} ちなみに、これも数IIIでやるそうです...。 というわけで、次回は、これを使ってグラフの長さを求めていこうと思います。 PART 2 のお知らせ 明日に PART 2 を投稿します。 PART 2↓ 【数学】グラフの長さを求める公式を求めてみた PART 2

【数学】グラフの長さを求める公式を求めてみた PART 2

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], processEscapes: true }, CommonHTML: { matchFontHeight: false }, displayAlign: "left", displayIndent: "2em" }); ご了承ください 僕は、現時点では、無限積や積分を習っていません。 多少のミスや間違いはご了承ください。 PART 分割について 今回は、長くなりそうなので、PART分割する事にしました。 次の記事は明日に投稿する予定なので、是非そちらもよろしくお願いします。 グラフの長さを求める それでは、本題である、グラフの長さを求めようと思います。 前回の、積分とシグマの関係と同じように、少しずつ抽象化(一般化)していきます。 まずは、下の画像を見て下さい。 この の長さを$L_1(x_1)$とすると、 \begin{eqnarray*} L_1(x_1) = \sum_{k = 1}^{4} \sqrt{\left(f\left(\frac{k - 1}{4}x_1 \right) - f\left(\frac{k}{4}x_1\right) \right)^2 + \left(\frac{x_1}{4}\right)^2} \\ \\ \end{eqnarray*} これは、三平方の定理を利用しています。では、前回のように、$t$個の線分があると考えると、$L_1(x_1)$は、 \begin{eqnarray*} L_1(x_1) = \sum_{k = 1}^{t} \sqrt{\left(f\left(\frac{k - 1}{t}x_1 \right) - f\left(\frac{k}{t}x_1\right) \right)^2 + \left(\frac{x_1}{t}\right)^2} \\ \\ \end{eqnarray*} となります。 しかし、この式自体はさほど意味はありません。 重要な事は、この式が、一次関数の線分の和を表しているという事です。 それでは、$t$を限りなく大きくした場合の事を考えます。 すると、下の画像のようになり、それは、グラフの長さと一致するはずです。 上のように、$x = x_0$の点において、底辺は$\frac{x_1}{t}$なので、 高さは、(底辺)×(傾き)となり、$\frac{x_1}{t}f'(x_0)$となります。 よって斜辺の長さは$\sqrt{\left(\frac{x_1}{t}f'(x_0)\right)^2 + \left(\frac{x_1}{t}\right)^2}$となり、つまりは、 $\frac{x_1}{t}\sqrt{f'(x_0)^2 + 1}$となります。 よって、グラフの長さをL_2(x_1)とすると、 \begin{eqnarray*} L_2(x_1) &=& \lim_{t = 1} \sum_{k = 1}^{t} \frac{x_1}{t}\sqrt{f'(\frac{k}{t}x_1)^2 + 1} \\ \\ &=& \lim_{t = 1} \frac{x_1}{t} \sum_{k = 1}^{t} \sqrt{f'(\frac{k}{t}x_1)^2 + 1} \end{eqnarray*} ここで、前回求めた(1)を使って、以下の式が得られます。よって、 \begin{eqnarray*} L_2(x_1) = \int_{0}^{x_1} \sqrt{f'(u)^2 + 1}du \end{eqnarray*} となります。つまり、これがグラフの長さを求める公式というわけです。 つまりは、下の の長さなわけです。 終わりに いかかだったでしょうか。 個人的には、結構自信作の記事です。 是非他の記事も見ていって下さると嬉しいです。 以上、グラフの長さについての話でした。

【数学】ラグランジュの補間を求める[長記事]

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], processEscapes: true }, CommonHTML: { matchFontHeight: false }, displayAlign: "left", displayIndent: "2em" }); 「ラグランジュの補間」について書く理由 今回この「ラグランジュの補間」についての記事を書こうと思ったのは、僕がこれを発見したからです。 という事で、今回は、僕が見つけた、ラグランジュの補間について、書いていこうと思います。 ラグランジュの補間とは:発見と目的 僕も、ラグランジュの補間を発見したことによって、ラグランジュの補間を知ったので、ラグランジュの補間というものを知らない人も多いのではないでしょうか。 まずは、ラグランジュの補間をどういう経緯で発見したのか、そしてどういうものかを説明します。 ラグランジュの補間の発見と目的 それで、結局ラグランジュの補間って何?という話ですが、それは、発見した経緯と共に話す事にします。 ラグランジュの補間というのは、結構誰でも考えそうな事を、式にしたものです。 例えば、下の画像を見てみてください。 この座標平面上の点について考えてみてください。 この点、無理やり曲線を作れそうに見えませんかね? 多分、皆さん、下の画像のようなグラフを思い浮かべたのではないのでしょうか。 まぁ、そりゃそうだ、というような感じですよね。 このように、いくつかの点をグラフにする、という発想から、ラグランジュの補間は発見されました。 つまり、ラグランジュの補間というのは、 「複数個の座標平面の点を通る滑らかなグラフを求めるためもの」というものです。 僕の見つけた、ラグランジュの補間 ラグランジュの補間とはどういうものか、という事を知ったところで、早速その内容について考えていこうと思います。 まずは、ラグランジュの補間の定義について見ていきましょう。 ちなみに、僕自身ラグランジュの補間についてはにわかなので、以下の式は、某数学サイトのものと合わせて書いてあります。 全てのx座標が異なる、n+1個の点($x_k$, $y_k$)($ 1 \leqq k \leqq n+1 $)について、 そのすべての点を通る多項式P(x)は一つに定まり、以下のように表される。 $f_i(x)=\displaystyle\prod_{k\neq i}(x-x_k)$ としたとき、 $P(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}y_i\dfrac{f_i(x)}{f_i(x_i)}$ とまぁ、そうとう謎ですよね。 という事で、これから解説していきます。 僕は、n個の点で考えたので、そちらで書きます。(やり方は全く変わりません。) xy座標平面上にx座標が違うn個の点$(x_k, y_k)$を通る曲線について考える。 その曲線を$F(x)$とする。今回は、これを求める対象である。 ここで、$x = x_i$ において $y_i$ となり、それ以外の点$(x = x_j)$においては 0 となる式について考える。 その項を$f_i(x)$とする。(最初の定義の$f_i(x)$とは別物です。) まずは、$x = x_i$ 以外において 0 となるような式を作る。 その式を $A_i(x)$ とすると、 \begin{eqnarray*} A_i(x) &=& (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) \cdots (x - x_{i - 1})(x - x_{i + 1}) \cdots (x - x_{n - 1})(x - x_n) \\ &=& \left( \prod_{k = 1}^{i - 1} (x - x_k) \right) \left( \prod_{k = i + 1}^{n} (x - x_k ) \right) \\ \end{eqnarray*} (最初に紹介した定義では、$k \neq i$ という表現をしていましたが、僕は上のような表現を使用しました。) 次に、$A_i(x)$ に掛けたら、$y_i$となるような式を考える。 ここで、$A_i(x)$ に $x_i$ が代入された時、$y_i$となる。(これが $f_i(x)$ である。) $A_i(x)$に、$y_i$を掛けて、さらに $B_i$ を掛ける事で、$y_i$となるようにする、という考え方をする。 \begin{eqnarray*} f_i(x) = y_i A_i(x) B_i \end{eqnarray*} $x_i$を代入して考えると、以下のような式となる。 $f_i(x)$ は、$x_i$を代入した時、$y_i$となるので、 \begin{eqnarray*} y_i = y_i A_i(x_i) B_i \\ B_i = \frac{1}{A_i(x_i)} \\ \end{eqnarray*} よって、 \begin{eqnarray*} f_i(x) &=& y_i \frac{A_i(x)}{A_i(x_i)} \\ &=& y_i \frac{\left( \prod_{k = 1}^{i - 1} (x - x_k) \right) \left( \prod_{k = i + 1}^{n} (x - x_k ) \right)}{\left( \prod_{k = 1}^{i - 1} (x_i - x_k) \right) \left( \prod_{k = i + 1}^{n} (x_i - x_k ) \right)} \\ &=& y_i \left( \prod_{k = 1}^{i - 1} \frac{x - x_k}{x_i - x_k} \right) \left( \prod_{k = i + 1}^{n} \frac{x - x_k}{x_i - x_k} \right) \end{eqnarray*} ここで、$f_i(x)$は、$x_i$以外の、設定された点のx座標を代入した時、0となり、 $x_i$を代入した時、$y_i$となることより、 iが1の時から、nの時までの$f_i(x)$を足した式でも、$x_i$を代入した時、$y_i$となる。 故に、その式が$F(x)$と一致する。 ※kをjに変更しています。 \begin{eqnarray*} F(x) &=& \sum_{i = 1}^{n} f_i(x) \\ &=& \sum_{i = 1}^{n} y_i \left( \prod_{j = 1}^{i - 1} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \right) \left( \prod_{j = i + 1}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \right) \end{eqnarray*} これで、解説終了です。 最後に どうだったでしょうか。 今回は、大きめの記事でした。 ミスがあったら、指摘してくださると嬉しいです。

【数学】虚数の対数を求めてみる。

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], processEscapes: true }, CommonHTML: { matchFontHeight: false }, displayAlign: "left", displayIndent: "2em" }); 今回求める事 今回求めるのは、$\log(z)$です。もちろん、$z$は虚数です。 求めるというのは、実部と虚部で分ける、つまり$a + bi$の形で表すという事です。 今回は、比較的簡単ですので、のんびりご覧ください。 虚数平面と偏角 まずは、$z$の偏角$\arg(z)$について解説していこうと思います。 $z = a + bi$ とおいて考えます。 こんな変なブログに行きつくような人は知ってるとは思いますが、偏角$\arg(z)$とは、以下の事を表します。 よって、偏角$\arg(z)$は、以下のような式で表されます。 \begin{equation} \arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \end{equation} また、$z = ae^{\phi i}$ と表した時、$z = a(\cos(\phi) + i\sin(\phi))$ より、 \begin{eqnarray*} \arg(z) &=& \tan^{-1}\left(\frac{a\sin(\phi)}{a\cos(\phi)}\right) &=& \tan^{-1}\left(tan(\phi)\right) &=& \phi \end{eqnarray*} この式を利用していきます。 虚数の絶対値 絶対値とは、$0$(原点)からの距離の事です。 よって、虚数$z = a + bi$の絶対値$|z|$は、以下の長さの事を表します。 ゆえに、絶対値は以下の式で表す事ができます。 $z = a + bi$ の絶対値は、 \begin{equation} |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \end{equation} $z = ae^{\phi i}$の絶対値は、 \begin{equation} z = a\cos(\phi) + ia\sin(\phi) \end{equation} より、 \begin{equation} |z| = \sqrt{a^2(\cos^2(\phi) + \sin^2(\phi))} = a \end{equation} この式も利用します。 $\log(z)$を求める $\log(z)$は、$\arg(z)の式を変形する事で求める事が出来ます。 それでは早速、実践していこうと思います。 $z = ae^{x i}$ とおくと、 \begin{eqnarray*} x &=& \arg(z) \\ \log(e^x) &=& \arg(z) \\ \log((e^{xi})^{-i}) &=& \arg(z) \\ -i\log(e^{xi}) &=& \arg(z) \\ \log \left(\frac{z}{a}\right) &=& i\arg(z) \\ \log(z) - \log(a) &=& i\arg(z) \\ \log(z) &=& \log(a) + i\arg(z) \end{eqnarray*} $|z| = a$より、 \begin{equation} \log(z) = \log|z| + i\arg(z) \end{equation} これで、実部と虚部に分ける事が出来ました。 思った以上に書くことが無かったので、少し無駄な表現があったと思いますが、最後まで閲覧ありがとうございました。 以上、$log(z)$ についての話でした。

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