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【数学】exp(x)の解析接続を、独自のやり方で直接的に理解する PART 1

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], processEscapes: true }, CommonHTML: { matchFontHeight: false } }); ご了承ください 僕は現在、まだ無限和、無限積を習っていません。 なので、いろいろおかしな所があってもご了承ください。 PART分割では何をするか PART 1 では、$e^x$を一般的なやり方で解析接続をしていきます。 PART 2 では、$e^x$の解析接続を独自の方法でやっていきます。(明日投稿します。) $e^x$の一般的な解析接続 まずは、どうやって$e^x$を解析接続をしたのかを振り返ります。 もちろん、微分を使っていきます。 苦情が来ないように出来るだけ丁寧に書きますが、ミスしていたらすみません。 \begin{eqnarray*} y &=& e^x\\ \\ \frac{dy}{dx} &=& \lim_{h \to 0}\frac{e^{x + h} - e^x}{h} \\ \\ &=& \lim_{h \to 0}\frac{e^x e^h - e^x}{h} \\ \\ &=& e^x\lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h} \\ \\ &=& e^x\lim_{h \to 0}\frac{\left(\left(1 + h\right)^\frac{1}{h}\right)^h - 1}{h} \\ \\ &=& e^x\lim_{h \to 0}\frac{\left(1 + h\right)^{\frac{1}{h} \cdot h}}{h} \\ \\ &=& e^x\lim_{h \to 0}\frac{1 + h - 1}{h} \\ \\ &=& e^x \\ \\ \end{eqnarray*} とりあえず$e^x$が微分できました。 まぁ、これを証明する必要があるのかどうかは微妙ですが、一応やっておきました。 では、これを利用して、解析接続された形を導いていきます。 \[ e^x = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots \tag{1} \\ \\ \] とおく。($a_n$を$x^n$の係数とおく。) (1)に x = 0を代入すると、 \[ 1 = a_0 \tag{2} \\ \\ \] (1)で両辺を微分すると、 \[ e^x = a_1 + 2 a_2 x + 3 a_4 x^2 + 4 a_4 x^3 + \cdots \tag{3} \\ \\ \] これに x = 0 を代入すると、 \[ 1 = a_1 \tag{4} \\ \\ \] さらに(3)で両辺を微分すると、 \[ e^x = 2 \cdot 1 a_2 + 3 \cdot 2 a_3 x + 4 \cdot 3 a_4 x^2 + 5 \cdot 4 a_5 x^3 + \cdots \tag{5} \\ \\ \] これに x = 0 を代入すると、 \[ 1 = 2! a_2 \\ \\ a_2 = \frac{1}{2!} \tag{6} \\ \\ \] このように、$a_n$ は $n!$ と一致する事が分かる。 (1)で両辺をn階微分して、x = 0 を代入すると、 \[ 1 = n! a_n \\ \\ a_n = \frac{1}{n!} \\ \\ \] よって、 \begin{eqnarray*} e^x &=& \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \\ \\ &=& 1 + \frac{x}{1} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \end{eqnarray*} こんな感じでしょうか。 まぁ、これも証明する必要あったのか...とは思いますが、一応しました。 証明になっているかどうか、と言われたらそれもそれでどうかとは思いますが。 PART 2 のお知らせ 早くて6月6日、遅くてテスト後に以下のURLにてPART 2 を投稿します。 exp(x)の解析接続を、独自のやり方で直接的に理解する PART 2 是非ご覧ください。

【数学】exp(x)の解析接続を、独自のやり方で直接的に理解する PART 2

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], processEscapes: true }, CommonHTML: { matchFontHeight: false } }); ご了承ください 僕はまだあまり無限和、無限積を学習していません。 なので、何か間違っていても、ご了承ください。 また、その時は連絡をください。 PART 1 のお知らせ この記事は、タイトル通り、PARTで分割されています。 パート1はこちらです。 【数学】exp(x)の解析接続を、独自のやり方で直接的に理解する PART 1 $e^x$を微分以外で解析接続を疑似的に理解する それでは、PART 2 では、解析接続された状態の$e^x$をより理解できるような変形をしていきたいと思います。 まずは、$e^x$の解析接続の形ですが、無限和となっていますよね。 しかし、$e^x$とは、本来無限積の形であるはずです。 つまり、無限積→無限和の変換が行われている事が分かります。 では、積を和にするという事で、僕は二項定理に注目して考えてみました。 という事で、これから変形していきます。 \begin{eqnarray*} e^x &=& \lim_{h \to \infty}\left( 1 + \frac{1}{h} \right)^{xh} \\ \\ \text{ここで二項定理を使います。} \\ \\ &=& \lim_{h \to \infty} \sum_{k = 0}^{xh}{}_{xh} C_{k}\left(\frac{1}{h}\right)^{k} \\ \\ &=& \lim_{h \to \infty} \sum_{k = 0}^{xh}\frac{{}_{xh} P_{k}}{k!} \frac{1}{h^k} \\ \\ &=& \lim_{h \to \infty} \sum_{k = 0}^{xh}\frac{1}{k!} \frac{{}_{xh} P_{k}}{h^k}\tag{1} \\ \\ \end{eqnarray*} ここで一旦、$ \frac{{}_{xh} P_{k}}{h^k}$ を変形したいと思います。 上の式の中で変形しようとすると、少し分かりにくくなるからです。 また、今回は、x も h も k もただの文字として扱います。よっていちいち極限などを定義しません。 \begin{eqnarray*} {}_{xh} P_{k} &=& xh(xh - 1)(xh - 2)(xh - 2) \cdots (xh - k + 1) \\ \\ &=& xh^k + a_1 (xh)^{k - 1} + a_2 (xh)^{k - 2} + a_3 (xh)^{k - 3} + \cdots + a_{k - 1} (xh)^{2} + a_k (xh)^{0} \\ \end{eqnarray*} 両辺を$h^k$で割る。 \begin{eqnarray*} \frac{{}_{xh} P_{k}}{h^k} &=& x^k + \frac{1}{h}\left(\cdots \right) \tag{2}\\ \\ \end{eqnarray*} それでは(2)を(1)に代入します。 \begin{eqnarray*} e^x &=& \lim_{h \to \infty} \sum_{k = 0}^{xh} \frac{1}{k!}\left(x^k + \frac{1}{h}(\cdots)\right) \\ \\ &=& \lim_{h \to \infty} \sum_{k = 0}^{xh} \left(\frac{x^k}{k!} + \frac{1}{h}(\cdots)\right) \\ \\ \text{ここで、}\lim_{h \to \infty}\frac{1}{h}(\cdots) \to 0 \text{より、} \\ \\ &=& \lim_{h \to \infty} \sum_{k = 0}^{xh} \frac{x^k}{k!} \\ \\ \text{また、}\lim_{h \to \infty}xh \to \infty \text{よりt = xhとおくと、} \\ \\ &=& \lim_{t \to \infty} \sum_{k = 0}^{t} \frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*} はい、どうでしょうか? こちらの解析接続のほうが、人間としては理解しやすいと思います。 まぁ、無理やり感はありますが、一応解析接続できます。 という訳で、今回は終了です。 終えて感想 今回は、結構書くのに時間がかかりました。 しかし、久しぶりに数学の記事が書けたので、すっきりしました。

【数学】オイラー積について軽く触れてみる

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], processEscapes: true }, CommonHTML: { matchFontHeight: false }, displayAlign: "left", displayIndent: "2em" }); オイラー積とは? オイラー積は比較的有名ですが、知らない方のために簡単に説明します。 オイラー積とは、下のような等式のことを指します。また、これはゼータ関数($\zeta(x)$)というものです。 \[ \zeta(x) = \frac{1}{1^x} + \frac{1}{2^x} + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{4^x} + \ldots = \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{2^x}} \right) \left( \frac{1}{1-\frac{1}{3^x}} \right) \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{5^x}} \right) \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{7^x}} \right) \ldots\\ \] 右辺の、「○のx乗」という部分の ○ には素数が入ります。完結に表すと \[ \zeta(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^x} = \prod_{p:prime}^{\infty} \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{p^x}} \right)\\ \] となります。 何故かこの単純な無限和を変形すると、素数が現れる無限積になるというのが、オイラー積です。 今回は、こうなる理由を軽く分かりやすく説明しようと思います。 実際に変形してみる 簡単な解析接続をやった方なら、オイラー積という存在を知らなくても、オイラー積までたどり着くと思います。 それでは、実際にやってみたいと思います。イメージとしては、分母を因数分解する感じです。 \begin{align*} \zeta(x) &= 1 + \frac{1}{2^x} + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{4^x} + \ldots\\ \zeta(x) &= 1 + \frac{1}{2^x} \left( 1 + \frac{1}{2^x} + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{4^x} + \ldots \right) + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \ldots\\ \zeta(x) &= 1 + \frac{1}{2^x}\zeta(x) + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \ldots\\ \zeta(x) - \frac{1}{2^x}\zeta(x) &= 1 + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \ldots\\ \left(1 - \frac{1}{2^x} \right)\zeta(x) &= 1 + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \ldots\\ \left(1 - \frac{1}{2^x} \right)\zeta(x) &= 1 + \frac{1}{3^x} \left( 1 + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \ldots \right) + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \frac{1}{11^x} + \ldots\\ \left(1 - \frac{1}{2^x} \right)\zeta(x) &= 1 + \frac{1}{3^x} \left(1 - \frac{1}{2^x} \right)\zeta(x) + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \frac{1}{11^x} + \ldots\\ \left(1 - \frac{1}{2^x} \right)\zeta(x) - \frac{1}{3^x} \left(1 - \frac{1}{2^x} \right) \zeta(x) &= 1 + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \frac{1}{11^x} + \ldots\\ \left(1 - \frac{1}{3^x} \right) \left(1 - \frac{1}{2^x} \right)\zeta(x) &= 1 + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \frac{1}{11^x} + \ldots\\ \end{align*} これを続けて、 \begin{align*} \left( 1 - \frac{1}{2^x} \right) \left( 1 - \frac{1}{3^x} \right) \left( 1 - \frac{1}{5^x} \right) \left( 1 - \frac{1}{7^x} \right) \ldots \zeta(x) &= 1\\ \zeta(x) = \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{2^x}} \right) \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{3^x}} \right) \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{5^x}} \right) \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{7^x}} \right) \ldots \\ \end{align*} このように、分母を出来るだけ小さい素数のx乗の倍数をまとめると、その前の式と同じ式が出てくるので、成り立ちます。 実際に変形してみると、何故素数が出てくるかが何となく分かりますよね。 それだとしても、素数が現れるのは面白いですよね。 以上、オイラー積についての話でした。 やってみた感想 僕がオイラー積があの形になる理由が分かったのは、ゼータ関数の自明な零点が意味不明で、ゼータ関数を解析接続しようとしたからです。 ノートに書く分にはいいのですが、これをMathJaxとして書くのは大変でした。

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