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【数学】exp(x)の解析接続を、独自のやり方で直接的に理解する PART 1

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], processEscapes: true }, CommonHTML: { matchFontHeight: false } }); ご了承ください 僕は現在、まだ無限和、無限積を習っていません。 なので、いろいろおかしな所があってもご了承ください。 PART分割では何をするか PART 1 では、$e^x$を一般的なやり方で解析接続をしていきます。 PART 2 では、$e^x$の解析接続を独自の方法でやっていきます。(明日投稿します。) $e^x$の一般的な解析接続 まずは、どうやって$e^x$を解析接続をしたのかを振り返ります。 もちろん、微分を使っていきます。 苦情が来ないように出来るだけ丁寧に書きますが、ミスしていたらすみません。 \begin{eqnarray*} y &=& e^x\\ \\ \frac{dy}{dx} &=& \lim_{h \to 0}\frac{e^{x + h} - e^x}{h} \\ \\ &=& \lim_{h \to 0}\frac{e^x e^h - e^x}{h} \\ \\ &=& e^x\lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h} \\ \\ &=& e^x\lim_{h \to 0}\frac{\left(\left(1 + h\right)^\frac{1}{h}\right)^h - 1}{h} \\ \\ &=& e^x\lim_{h \to 0}\frac{\left(1 + h\right)^{\frac{1}{h} \cdot h}}{h} \\ \\ &=& e^x\lim_{h \to 0}\frac{1 + h - 1}{h} \\ \\ &=& e^x \\ \\ \end{eqnarray*} とりあえず$e^x$が微分できました。 まぁ、これを証明する必要があるのかどうかは微妙ですが、一応やっておきました。 では、これを利用して、解析接続された形を導いていきます。 \[ e^x = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots \tag{1} \\ \\ \] とおく。($a_n$を$x^n$の係数とおく。) (1)に x = 0を代入すると、 \[ 1 = a_0 \tag{2} \\ \\ \] (1)で両辺を微分すると、 \[ e^x = a_1 + 2 a_2 x + 3 a_4 x^2 + 4 a_4 x^3 + \cdots \tag{3} \\ \\ \] これに x = 0 を代入すると、 \[ 1 = a_1 \tag{4} \\ \\ \] さらに(3)で両辺を微分すると、 \[ e^x = 2 \cdot 1 a_2 + 3 \cdot 2 a_3 x + 4 \cdot 3 a_4 x^2 + 5 \cdot 4 a_5 x^3 + \cdots \tag{5} \\ \\ \] これに x = 0 を代入すると、 \[ 1 = 2! a_2 \\ \\ a_2 = \frac{1}{2!} \tag{6} \\ \\ \] このように、$a_n$ は $n!$ と一致する事が分かる。 (1)で両辺をn階微分して、x = 0 を代入すると、 \[ 1 = n! a_n \\ \\ a_n = \frac{1}{n!} \\ \\ \] よって、 \begin{eqnarray*} e^x &=& \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \\ \\ &=& 1 + \frac{x}{1} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \end{eqnarray*} こんな感じでしょうか。 まぁ、これも証明する必要あったのか...とは思いますが、一応しました。 証明になっているかどうか、と言われたらそれもそれでどうかとは思いますが。 PART 2 のお知らせ 早くて6月6日、遅くてテスト後に以下のURLにてPART 2 を投稿します。 exp(x)の解析接続を、独自のやり方で直接的に理解する PART 2 是非ご覧ください。

【数学】exp(x)の解析接続を、独自のやり方で直接的に理解する PART 2

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], processEscapes: true }, CommonHTML: { matchFontHeight: false } }); ご了承ください 僕はまだあまり無限和、無限積を学習していません。 なので、何か間違っていても、ご了承ください。 また、その時は連絡をください。 PART 1 のお知らせ この記事は、タイトル通り、PARTで分割されています。 パート1はこちらです。 【数学】exp(x)の解析接続を、独自のやり方で直接的に理解する PART 1 $e^x$を微分以外で解析接続を疑似的に理解する それでは、PART 2 では、解析接続された状態の$e^x$をより理解できるような変形をしていきたいと思います。 まずは、$e^x$の解析接続の形ですが、無限和となっていますよね。 しかし、$e^x$とは、本来無限積の形であるはずです。 つまり、無限積→無限和の変換が行われている事が分かります。 では、積を和にするという事で、僕は二項定理に注目して考えてみました。 という事で、これから変形していきます。 \begin{eqnarray*} e^x &=& \lim_{h \to \infty}\left( 1 + \frac{1}{h} \right)^{xh} \\ \\ \text{ここで二項定理を使います。} \\ \\ &=& \lim_{h \to \infty} \sum_{k = 0}^{xh}{}_{xh} C_{k}\left(\frac{1}{h}\right)^{k} \\ \\ &=& \lim_{h \to \infty} \sum_{k = 0}^{xh}\frac{{}_{xh} P_{k}}{k!} \frac{1}{h^k} \\ \\ &=& \lim_{h \to \infty} \sum_{k = 0}^{xh}\frac{1}{k!} \frac{{}_{xh} P_{k}}{h^k}\tag{1} \\ \\ \end{eqnarray*} ここで一旦、$ \frac{{}_{xh} P_{k}}{h^k}$ を変形したいと思います。 上の式の中で変形しようとすると、少し分かりにくくなるからです。 また、今回は、x も h も k もただの文字として扱います。よっていちいち極限などを定義しません。 \begin{eqnarray*} {}_{xh} P_{k} &=& xh(xh - 1)(xh - 2)(xh - 2) \cdots (xh - k + 1) \\ \\ &=& xh^k + a_1 (xh)^{k - 1} + a_2 (xh)^{k - 2} + a_3 (xh)^{k - 3} + \cdots + a_{k - 1} (xh)^{2} + a_k (xh)^{0} \\ \end{eqnarray*} 両辺を$h^k$で割る。 \begin{eqnarray*} \frac{{}_{xh} P_{k}}{h^k} &=& x^k + \frac{1}{h}\left(\cdots \right) \tag{2}\\ \\ \end{eqnarray*} それでは(2)を(1)に代入します。 \begin{eqnarray*} e^x &=& \lim_{h \to \infty} \sum_{k = 0}^{xh} \frac{1}{k!}\left(x^k + \frac{1}{h}(\cdots)\right) \\ \\ &=& \lim_{h \to \infty} \sum_{k = 0}^{xh} \left(\frac{x^k}{k!} + \frac{1}{h}(\cdots)\right) \\ \\ \text{ここで、}\lim_{h \to \infty}\frac{1}{h}(\cdots) \to 0 \text{より、} \\ \\ &=& \lim_{h \to \infty} \sum_{k = 0}^{xh} \frac{x^k}{k!} \\ \\ \text{また、}\lim_{h \to \infty}xh \to \infty \text{よりt = xhとおくと、} \\ \\ &=& \lim_{t \to \infty} \sum_{k = 0}^{t} \frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*} はい、どうでしょうか? こちらの解析接続のほうが、人間としては理解しやすいと思います。 まぁ、無理やり感はありますが、一応解析接続できます。 という訳で、今回は終了です。 終えて感想 今回は、結構書くのに時間がかかりました。 しかし、久しぶりに数学の記事が書けたので、すっきりしました。

【ぐろこーんの数学論】数学のすばらしさを伝えたい

数学という学問のすばらしさ 皆さんも、数学は楽しんでますよね? 数学といっても、勉強!という感じの数学ではありません。研究するという方の数学です。 研究するための数学、何が素晴らしいのか。それは、他の学問とは違い、ネタが尽きない事にあるといえるでしょう。 数学は、新しいものが発見できると、新しい課題が見つかるのですよ。 何か研究をしていて、研究ネタが尽きるという事は致命傷ですよね。例えば、まぁあり得ないですが、歴史を研究していて、現在出ている証拠物ものについて結論を出し切ったとします。おかしな点が無いか探すのかもしれませんが、それにしてもつまらないですよね。 ネタが尽きるという事は、こういう事なのですよ。 さらに素晴らしい事に、数学はあり得ない、存在しえない物について考える事が出来る学問なのですよ。 i^2 = -1。こんな事ありますかね。面積が-1になる正方形?あるはずがないでしょう。これほどあり得ない事は、他の学問では考えられないですよね。人類が一度滅亡して、再度復活するようなあり得ない事は歴史では考えません。 このように、数学は存在するもの、もしくはしないもの、つまりは人間の脳みそで想像できるすべてのものに対して、永遠と考える事が出来る学問なのです。 数学を楽しく感じるには 数学を楽しんでいる人は何が楽しいのか。それは、気になることを知れるからじゃないでしょうか。一度きっかけを作ると、永遠と意欲が湧いてきます。 その一度のきっかけはいつ作ればいいか? それはまさに... 今でしょ! はい、ちなみに僕は東進生です。 今回この記事をわざわざ読んで下さったので、これをきっかけに数学にのめりこんでしまいましょう。 すこしメタ発言 書き方を少し変更しました。他の方のブログなどを見て、改行などを入れたほうがいいと判断しました。 何気にこのブログ、自分で立ち上げたのに、ブラックです。毎日投稿&勉強はきつい。

【ぐろこーんの数学論】数学についての厄介な質問への対応

数学についての厄介な質問が来る 自分は数学を趣味でやっているので、たまに数学の質問をされます。 僕が抱いている感情は、数学の教師をやっている方なら分かると思いますが、なんと答えていいか分からない質問がくると困ります。 今回は、そんな質問への回答方法を考えてみました。 数学が苦手な方にも役立つと思うので、是非見ていってください。 Case 1:「全部分からない」 これは厄介な質問です。 暗記が得意な方が、なぜ暗記出来るのかと聞かれて困るのと同じ感じです。 なぜその問題が出来ないのか分からないので、「全部分からない」の「全部」が何を指しているかがよく分かりません。 例えば、 「50m走で、タイムが10秒だった。速さを求めなさい。」 という問題があったとします(算数ですが)。 これは5.0[m/s]と即座に分かりますよね。 この問題が全部分からない、と言われた時、何処が分からないか全く推測できません。 ではどうすればいいのでしょうか。 この場合は、一から順に解いていく過程を見せるのが有効です。 これによって、問題を解く時の理屈が分からなかったか、もしくは知識不足なのかが分かります。 それに加えて、つまずいた場所が明確になります。 これは自分が問題を解くときにも有効です。コツは、一度自分の考えが間違っていると思いながら解いていくことです。 Case 2:「答え見たけど良くわからない」 まぁこれは比較的楽なパターンです。質問しに来るときは、一回答えを見てきてくれると嬉しいですね。 しかし、これも厄介と言えば厄介です。なぜ答えの理屈が成り立つのか分からないという事ですから。 この質問に対する対応は、一つの事を重点的に教えるというものが適切でしょう。 この場合は何処が分からないかはっきりしている場合が多いので、その分からないところをだんだん簡単にしていきながら教えるのがいいです。 ただし、このパターンは次に紹介するCase 3に発展することが多々あります。 Case 3:「どうしてその定理・公式が成り立つか分からない」 この相談をしてくる人には、徹底的に仕組みを教える必要があります。 中途半端に教えるのを止めると、また質問しにきます。 Case 2と似ていますが、こちらのほうが、説明を濃くする必要があります。 この質問に答える時に意識することは、「例を挙げること」と「丁寧な証明」です。 なぜ成り立つか仕組みが分からない場合、理屈を教えてから例示をするより、例示をしてから理屈を教えるほうが理解されることが多いです。 相手は、その理屈が成り立つかどうかに疑問を持っているので、例をいくつか見せると納得しやすい事は明確です。 そのあとに一般化という手順を取ることで、説明が相手によく理解されやすくなります。

【ぐろこーんの数学論】図形問題に数直線、効果は抜群だ!

数直線は一次元の図形 まずはこの話をします。 図形問題というのは、多くは二次元の図形を指します。 三次元の図形は、空間図形と呼びますからね。図形と言うと、平面図形のイメージが強いですよね。 それでは、唐突ですが、三次元の図形について考えてみてください。 その空間図形の体積を辺の長さのみを用いて求めてください。 直方体などは直に出すことができますが、三角錐などの体積を直に出すことが出来るでしょうか。 出来ないと思います。確実に二次元の図形、つまりは平面図形を使用しなければいけないのですよ。 では、次は二次元の図形(つまりは平面図形)について考えてみましょう。 その平面図形の面積を4つの点の座標もしくは位置ベクトルを用いて、求めてみましょう。 まぁ、こちらも直で出すのは少し難しいでしょう。 辺の長さ出せば分かりますよね。 そうです、辺ですよ。 この辺というものを、数直線で表すことが出来るのです。 図形で数直線を使う 数直線を利用すると良いのは、比率がややこしい問題や、二次関数で作られる図形です。 二次関数で動く点があるみたいな問題では効果抜群です。 高校入試ではよく出てきたと思います。 大学受験で出てくる奴はなかなか癖があるので、特に数直線が有効です。 話題がそれましたが、数直線をどう利用するか話します。 数直線は、実際の記述では使いません。 そんなマイナーな説明は、書き方が分からなくなります。 図形で数直線を使うのは、イメージをする時です。 数直線を使って問題のイメージを明瞭にする場合、いろいろやり方がありますが、僕は以下のようにしてます。 一つの数直線上に比べたい全ての辺を表します。 分かりにくい場合は、複数の数直線を並べても構いません。 こうすることで、他の辺との関係が分かりやすくなるので、僕は使ってます。 もちろん、これが無効な問題もあるので、そういう場合は、違うやり方をしたりします。 数学というのは、自分の力で解く学問です。 自分で使いやすいやり方を見つけると、活用できると思います。 是非、数直線を図形問題で活かす方法を考えてみてください。 以上、図形問題に数直線を介入させるという話でした。

【数学】[分からない人向け]恒等式について解説

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], processEscapes: true }, CommonHTML: { matchFontHeight: false }, displayAlign: "left", displayIndent: "2em" }); 恒等式とは 恒等式について問題を理解するには、恒等式の定義について理解する必要があります。 $x$がどんな値でも成り立つ$x$を含む方程式を、$x$についての恒等式と言う。 もちろん、文字が増えても、恒等式と言います。 もっとしっかりとした定義は、教科書などで見ると良いと思います。 今回は、この恒等式の問題の解き方について解説したいと思います。 メジャーな問題と解き方と解説 問題の解説といっても、どのような問題について解説するの?という話ですね。 今回は、下のような問題について解説します。 次の式が$k$についての恒等式である時、$x, y, z$の値を求めなさい。 (1) $(x + y)k + (x + 2y + 1) = 0$ (2) $(x - 2y + z)k^2 + (2x + y - z - 1)k + (x + y + z - 6) = 0$ まぁこれは、初見では結構難しく感じるかもしれませんが、よくある問題なので、慣れている方が多いと思います。 この解き方は、ざっくりと以下の通りです。 (1) 左辺が0となるのは、$(x + y) = 0$ かつ $(x + 2y + 1) = 0$の時なので、 \(\left\{ \begin{array}{l} x + y = 0\\ x + 2y + 1 = 0 \end{array} \right.\) $\therefore$ \(\left\{ \begin{array}{1} x = 1 \\ y = -1 \end{array} \right.\) (2) 左辺が0となるのは、$(x - 2y + z) = 0$ かつ $(2x + y - z - 1) = 0$ かつ $(x + y + z - 6) = 0$の時なので、 \(\left\{ \begin{array}{l} x - 2y + z = 0\\ 2x + y - z - 1 = 0\\ x + y + z - 6 = 0 \end{array} \right.\) $\therefore$ \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3 \end{array} \right.\) だいたいこんな感じの解き方をします。 しかし、どうしてこの解き方で解が出るのでしょうか。 つまり、どうして他の解が無いと分かるのでしょうか。 解説 例えば、$Ak + B = 0$という式を見て下さい。 この会は、 $k = -\frac{B}{A}$となりますよね。 ここで、この式が$k$についての恒等式となるとき、どうなるでしょうか。 $k$の値に左右されず成り立つのが恒等式なので、kについての解を持たないわけです。 では、$k = -\frac{B}{A}$が解とならないためには、$-\frac{B}{A}$が不定になるのは、どの時でしょうか? それは、$A = 0$ かつ $B = 0$ の時ですよね。 つまり、$Ak + B = 0$ が$k$についての恒等式となる条件は、 $A = 0$ かつ $B = 0$ のみとなるわけです。 ご理解頂けたでしょうか? 以上、恒等式についての解説でした。

【数学】[分からない人向け]直線を表すベクトル、p = sa + tb (s + t = 1) って結局どういうイメージなのか

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], processEscapes: true }, CommonHTML: { matchFontHeight: false }, displayAlign: "left", displayIndent: "2em" }); 今回の目的 今回は、分からない人向けの記事です。 ベクトルの下の式について解説します。 A(\vec{a}), B(\vec{b})において、直線AB上にある点P($\vec{p})について \begin{eqnarray*} \vec{AP} &=& t\vec{AB} \tag{1}\\ \\ \vec{p} &=& t\vec{a} + (1 - t)\vec{b} \tag{2}\\ \\ \vec{p} &=& s\vec{a} + t\vec{b} \quad (s + t = 1) \tag{3}\\ \\ \end{eqnarray*} これらの式は、式変形では簡単に求まるのにイメージしずらい式だと思います。 何故係数を足したら1になる式が、直線を表すことが出来るのか、という疑問を持っている人もいるのではないかと思いました。 なので、今回は、どうイメージするかを解説します。 まずは式で求めてみる 最初は、普通に式変形で求めてみます。 あの式に成り立つ経緯を覚えておく事は大事です。 A($\vec{a}$), B($\vec{b}$)とし、直線AB上にある任意の点をP($\vec{p}$)とする。 PはAB上にあるので、AP//ABである。よって、 \begin{eqnarray*} \vec{AP} &=& \vec{AB}\tag{1} \\ \\ \vec{p} - \vec{a} &=& t\vec{b} - t\vec{a} \\ \\ \vec{p} &=& \vec{a} - t\vec{a} + t\vec{b} \\ \\ \vec{p} &=& (1 - t)\vec{a} + t\vec{b}\tag{2} \\ \\ \text{ここで、} s = 1 - t \text{すなわち} s + t = 1 \text{とおくと、} \\ \\ \vec{p} &=& s\vec{a} + t\vec{b}\quad(s + t = 1)\tag{3} \\ \\ \end{eqnarray*} こんな感じでしょうか。 流石に、これをもっと細かく解説するのは、分かりずらくなると思うので、 この証明を理解できなかった人は、もっと根元の部分を復習してきてください。 そんなわけで、数行で証明できてしまいましたね。 それでは、$\vec{p}$が一直線上にあることがイメージできましたか? 出来るわけ無いですよね。 そういう訳で、次のセクションに入ります。 イメージで理解する さあ、式で証明して、とりあえず成り立つ事は分かりました。 では、イメージの仕方について解説していきます。 このセクションでは、$\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b} \quad (s + t = 1)$ について解説します。 まず、ここで重要なのは、s + t = 1 という概念を理解することです。 s = 1, t = 0 の時を考えてみてください。 上の図は、で考えてください。 この図では、もちろん、PとAが重なる事になります。 そして、この高さの比率が1である、と考えてください。 この図だけでは不十分なので、別の図を見せます。 この図で理解できると思います。 斜辺と高さの比率が一致するという事は知っていますよね。 それと似たような感じです。 濃い赤の$s\vec{a}$というのは、高さの比率が1の中で、sの分だけ使っている、と考えてください。 もちろん、濃い青の$t\vec{b}$というのは、高さの比率が1の中でtの分だけ使っている、と考えてください。 また、考えにくかったら、薄い色のベクトルを考えてください。 例えば、上の図の薄い青色のベクトルと、濃い赤色のベクトルに注目してください。 濃い赤は$s\vec{a}$を、薄い青は$s\vec{b}$を表しています。 向きは違えど、高さの比率はsのままですよね。 つまり、ベクトルの向きと関係なしに、高さの比率が決まっているわけです。 そんなわけで、どんなベクトルであれど、全て高さの比が1となるわけです。 よって、一直線上にあるわけです。 最後に 少し独特な説明だったので、理解しずらい部分もあったかもしれません。 しかし、一人でも理解していただけたなら幸いです。 以上、ベクトルについての話でした。

【数学】[分からない人向け]ベクトルの一次独立のイメージの仕方

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], processEscapes: true }, CommonHTML: { matchFontHeight: false }, displayAlign: "left", displayIndent: "2em" }); 一次独立とは 一次独立って結構使いますか? 僕はよく使います。というよりも、使うように指導されました。 しかし、学校の方針でまったく習わない学校があるという事を聞いたので、まずは一時独立とは、どういう状態かを説明します。 (今回は、二次元空間の場合) $\vec{a} \neq \vec{0}$ かつ $\vec{b} \neq \vec{0}$ かつ $\vec{a} \nparallel \vec{b}$ の時、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立である、という。 また、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が一次独立であり、$s\vec{a} + t\vec{b} = s'\vec{a} + t'\vec{b}$ の時、 $s = s'$ かつ $t = t'$ とまぁ、こういった感じです。 これは、三次元空間なら三つのベクトル、四次元空間なら四つのベクトルにおいて、この事が成り立ちます。 今回は、これが成り立つ事を「イメージする」方法について解説します。 二次元座標から平行四辺形を作り、二次元座標を表す 一次独立をイメージするには、二次元座標についての理解が必要です。 まずは、ノートか何かに、平行でない二線を引いてみてください。 出来れば垂直じゃないほうがいいです。(垂直だと、一次独立の理解にはあまりつながらないため) 次は、どこか一点に点Pをとってください。 そして、平行でない二線の交点を原点とし、その二線に沿ってOとPを対角とする平行四辺形を書いてみてください。 以下のような感じです。 αとβが二つの軸となっています。 そして、濃い青色が、平行四辺形を成すための線です。 しかし、β軸の値を少しずらして、αと平行な線を引いてみてください。 すると、すでにPと交わらないので、平行四辺形を作ることができません。 よって、”α軸β軸どちらか値をずらすと、P点を表せない” という事が分かるわけです。 ベクトルに変換して考える それでは、さっき書いた軸の方向に、適当な大きさのベクトルを書いてみてください。 そして、平行四辺形の辺の長さに合わせて、ベクトルを拡張してみてください。 すると、以下のようになると思います。 そして、「α軸β軸どちらか値をずらすと、P点を表せない」のでしたよね。 つまり、上の画像に関して、"s, t の値を変えると、P点を表せない" すなわち"s, t の値は一つしかない"という事が分かるわけです。 また、このイメージの仕方で、三次元空間、四次元空間もイメージする事が出来ます。 これでイメージ出来たでしょうか? 以上、一次独立のイメージについてでした。

【数学】連続する自然数の和で表せる数と規則性(証明)

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ["\\(","\\)"]] } }); MathJax.Hub.Config({ displayAlign: "left" }); div.horizontal-scroll { overflow-x : scroll; } この記事を書くに至った経緯 今日は連続する自然数の和で表される自然数について書いていきたいと思います。 今日の部活で$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$について友達と話し合っていたのですが、それが連続する自然数の和で表される自然数についての議論に発展しました。 まぁ、知っている方は知っていると思います。 そこからいろいろ考えていった結果、表せる自然数の規則性とそれの証明がなんとなく出来ました。 それでもって、今回は連続する自然数の和について触れていきたいと思います。 規則性を予想 5 = 2 + 3 17 = 8 + 9 24 = 7 + 8 + 9 32 = ...?? さあ、もうすでに上の式で気づいている方もいるかもしれませんが、簡単な規則性があります。 まずは、足している自然数の個数についてです。 3 = 1 + 2, 5 = 2 + 3, 7 = 3 + 4 などなど、自然数が奇数の時は、連続する2つの自然数で表すことができますよね。では偶数ではどうでしょうか。 2 = ?, 4 = ?, 6 = 1 + 2 + 3, 8 = ?, 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 12 = 3 + 4 + 5 偶数に関してはよく分からないように見えますが、$2^r$となるものだけ、表せてないですよね。 こんな感じで、16ぐらいまでやると、$2^r$ で表される自然数のみ、連続する自然数の和で表すことが出来なさそうですよね。1も不可能ですね。 では実際に証明をして、確かめてみましょう。 規則性の証明 僕の証明は独創的だと、東○ゼミナールの先生方が言っていたので、ご注意ください。 分かりにくかったら、twitterかinfo@progblog-note.comにて、聞いてください。 \[ n = \sum_{k=a}^b k \\ (n, a, b はともに自然数とする)\\ これを満たすnは1以外の 2^r ( r は自然数)で表すことが出来ない自然数である。\\ .\\ [証明]\\ p, q, r を自然数とする。\\ .\\ i) nが奇数の倍数の時\\ n = (2p + 1)q = \sum_{k=-p}^p (q + k)\tag{1}\\ p < q の時、(1)の(q + k)はすべて自然数となる。\\ p ≧ q の時、\\ r = p - qとすると、 n > 0 より、r < (q + p) であるので、下のように式変形できる\\ \] \begin{align*} n &= (q - p) + (q - p + 1) + (q - p + 2) + \cdots + 0 + \cdots + (q + p - 1) + (q + p)\\ &= -r + (-r + 1) + (-r + 2) + \cdots + 0 + \cdots + (r - 2) + (r - 1) + r \cdots + (q + p - 1) + (q + p)\\ &= \sum_{k=r+1}^{p + q} k\\ &= \sum_{k=p-q+1}^{p + q} k\\ \end{align*} \[ このように、p < q の時、p ≧ q の時、どちらも連続する自然数の和で表される。\\ .\\ ii) nが奇数の倍数でない時、すなわち、nが2^rで表される時\\ まず、nは連続する自然数の和で表すことが出来る。\\ .\\ n = 2pq と表すことができる。\\ nは奇数の倍数でないので、p, qも奇数の倍数でない。\tag{2}\\ nは2pで割ることが出来るので、2p個の連続する自然数の和として計算することができる。\\ しかし、ここで、2p個の連続する自然数の和を計算しようとすると、\\ \] \begin{align*} n &= (q - p + 1) + (q - p + 2) + (q - p + 3) + \cdots + (q + p - 2) + (q + p - 1) + (q + p)\\ &= 2q + p\\ \end{align*} \[ となって、pが余ってしまう。ここで、\\ n = 2pq と定めたので、 \] \begin{align*} 2pq &= 2q + p\\ p(2q + 1) &= 2q\\ \end{align*} \[ p, qは自然数であるので、p(2q + 1)は奇数の倍数である。すなわち、2qは奇数の倍数である。\\ ここで、(2)と反するので、仮定が間違っている。\\ つまり、nは連続する自然数の和で表す事ができない。\\.\\ iii)n=1の時\\ 1を連続する自然数の和で表せないことは自明である\\.\\.\\ i)ii)iii)より、連続する自然数の和で表されるのは、1以外で、2^rで表すことのできない自然数すべてである。\\ 終了 \] \[ まぁ、こう言われると、少し分かりにくいですが\\ ようは、1と2^rと表せる自然数のみ連続する自然数の和で表せないという事です。 \] 証明の感想 思っていた通り、なんとも説明しにくい証明方法でした。 もし受験でこの証明問題が出たとして、これで通るかどうかと言われたら、何とも言えないですね。部分点ぐらいは貰えるとは思いますが。 MathJaxを使用した証明でしたので、打つのが面倒でしたが、プログラミングに似ているものがあるので、少し楽しかったです。 証明に間違っている所があれば、お願いします。

【ぐろこーんの数学論】数学の難問を解くための基礎

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], processEscapes: true }, CommonHTML: { matchFontHeight: false }, displayAlign: "left", displayIndent: "2em" }); 簡単な問題で検証:[ 12 + 49 = ? ] 12 + 49 = ? こんな簡単な問題誰にでも解けますよね。この記事を読むようなマイナーな方なら。 しかし、これは直で出した方はいるでしょうか。 何が言いたいかと言うと、この計算ではみんな工夫をして計算をしているという事です。 皆さんはこう計算してますよね。 12 + 49 = 10 + 2 + 40 + 9 = 50 + 11 = 61 一桁の足し算は皆さん暗記してますよね。 皆さんは、自動的に知っている計算に変形しているのです。 数学の問題を解くという事は、こういう事なのです。 $a^2 + a$が偶数であることを証明しなさい まぁ少しレベルを上げました。 これは a(a + 1) と変形する事で、証明できますよね。 連続する二つの整数は偶数が必ず含まれていますからね。 二乗のままでは、人間が理解できないので、次数を一つ下げたのです。 二乗でも理解できている、と思っている方は錯覚です。 \[ \frac{1}{\sqrt{5}}\left( \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^2 - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^2\right) \] フィボナッチ数列の一般項に2を代入したものですね。これが1になる事を初見で予知できる人はいないでしょう。 ですが、二乗をじっくり展開して計算したら、1になることが簡単に分かりますよね。 つまりはそういう事です。 理解できるよう変形すれば良い 難しい問題というものは、大きく見て二種類あります。 1.いろいろな関係性がごちゃごちゃな問題 2.単純だが習ってないと思えるような問題 1の場合は、関係性をしっかりメモすれば解けますが、難しい大学であればあるほど2が勝負所となります。 そこでどう解くかというのが、今回紹介したものです。 自分の理解できる枠まで変形できれば、あとは当たり前の事を記述すれば解けます。 数学の点数がいい人、というのは、こういう事ができる事なのです。(僕のような人はミスで落としますが...) そんなこんなで今回は終わりにしようと思います。 以上、数学の難問を解く基礎でした。

【数学】オイラー積について軽く触れてみる

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], processEscapes: true }, CommonHTML: { matchFontHeight: false }, displayAlign: "left", displayIndent: "2em" }); オイラー積とは? オイラー積は比較的有名ですが、知らない方のために簡単に説明します。 オイラー積とは、下のような等式のことを指します。また、これはゼータ関数($\zeta(x)$)というものです。 \[ \zeta(x) = \frac{1}{1^x} + \frac{1}{2^x} + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{4^x} + \ldots = \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{2^x}} \right) \left( \frac{1}{1-\frac{1}{3^x}} \right) \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{5^x}} \right) \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{7^x}} \right) \ldots\\ \] 右辺の、「○のx乗」という部分の ○ には素数が入ります。完結に表すと \[ \zeta(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^x} = \prod_{p:prime}^{\infty} \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{p^x}} \right)\\ \] となります。 何故かこの単純な無限和を変形すると、素数が現れる無限積になるというのが、オイラー積です。 今回は、こうなる理由を軽く分かりやすく説明しようと思います。 実際に変形してみる 簡単な解析接続をやった方なら、オイラー積という存在を知らなくても、オイラー積までたどり着くと思います。 それでは、実際にやってみたいと思います。イメージとしては、分母を因数分解する感じです。 \begin{align*} \zeta(x) &= 1 + \frac{1}{2^x} + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{4^x} + \ldots\\ \zeta(x) &= 1 + \frac{1}{2^x} \left( 1 + \frac{1}{2^x} + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{4^x} + \ldots \right) + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \ldots\\ \zeta(x) &= 1 + \frac{1}{2^x}\zeta(x) + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \ldots\\ \zeta(x) - \frac{1}{2^x}\zeta(x) &= 1 + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \ldots\\ \left(1 - \frac{1}{2^x} \right)\zeta(x) &= 1 + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \ldots\\ \left(1 - \frac{1}{2^x} \right)\zeta(x) &= 1 + \frac{1}{3^x} \left( 1 + \frac{1}{3^x} + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \ldots \right) + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \frac{1}{11^x} + \ldots\\ \left(1 - \frac{1}{2^x} \right)\zeta(x) &= 1 + \frac{1}{3^x} \left(1 - \frac{1}{2^x} \right)\zeta(x) + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \frac{1}{11^x} + \ldots\\ \left(1 - \frac{1}{2^x} \right)\zeta(x) - \frac{1}{3^x} \left(1 - \frac{1}{2^x} \right) \zeta(x) &= 1 + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \frac{1}{11^x} + \ldots\\ \left(1 - \frac{1}{3^x} \right) \left(1 - \frac{1}{2^x} \right)\zeta(x) &= 1 + \frac{1}{5^x} + \frac{1}{7^x} + \frac{1}{11^x} + \ldots\\ \end{align*} これを続けて、 \begin{align*} \left( 1 - \frac{1}{2^x} \right) \left( 1 - \frac{1}{3^x} \right) \left( 1 - \frac{1}{5^x} \right) \left( 1 - \frac{1}{7^x} \right) \ldots \zeta(x) &= 1\\ \zeta(x) = \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{2^x}} \right) \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{3^x}} \right) \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{5^x}} \right) \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{7^x}} \right) \ldots \\ \end{align*} このように、分母を出来るだけ小さい素数のx乗の倍数をまとめると、その前の式と同じ式が出てくるので、成り立ちます。 実際に変形してみると、何故素数が出てくるかが何となく分かりますよね。 それだとしても、素数が現れるのは面白いですよね。 以上、オイラー積についての話でした。 やってみた感想 僕がオイラー積があの形になる理由が分かったのは、ゼータ関数の自明な零点が意味不明で、ゼータ関数を解析接続しようとしたからです。 ノートに書く分にはいいのですが、これをMathJaxとして書くのは大変でした。

【数学】グラフの長さを求める公式を求めてみた PART 1

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], processEscapes: true }, CommonHTML: { matchFontHeight: false }, displayAlign: "left", displayIndent: "2em" }); ご了承ください 僕は、現時点では、無限積や積分を習っていません。 多少のミスや間違いはご了承ください。 PART 分割について 今回は、長くなりそうなので、PART分割する事にしました。 次の記事は明日に投稿する予定なので、是非そちらもよろしくお願いします。 プロローグ:数学が好きなら、いつかは思うであろうこと グラフの長さを求めたい! 数学が好きなら、いつかは思う事なのではないでしょうか。 僕は微分を学習(独学)したときに思いました。 今回は、その「グラフの長さ」を求めて(一般化して)みたので、それを書いていこうと思います。 ちなみに、求めた後先生に見せたら、「数IIIでやる」とのことでした...。 準備:シグマと積分の関係 PART 1 では、これを求めていきます。 これは、解く流れで言ったら、終盤で必要になりますが、 先に証明しておいた方が、説明しやすいので、先に書くことにしました。 積分というのは、微分の逆であり、面積を求める事が出来るのでしたよね。 今回は、面積を求める、という事を使っていきます。 この、緑っぽい色 の面積を$S_1(x_1)$とおきます。 すると、面積は4つの長方形の合計となるので、以下のような等式が成り立ちます。 \begin{eqnarray*} S_1(x_1) &=& \sum_{k = 1}^4 \frac{x_1}{4}\cdot f\left(\frac{k}{4} x_1\right) \\ \\ &=& \frac{x_1}{4}\sum_{k = 1}^4 f\left(\frac{k}{4} x_1\right) \end{eqnarray*} ここで、長方形の個数を $t$ 個とした時の面積を考えてみましょう。 すると、以下のようになるのではないでしょうか。 \begin{eqnarray*} S_1(x_1) &=& \sum_{k = 1}^{t} \frac{x_1}{t}\cdot f\left( \frac{k}{t}x_1 \right) \\ \\ &=& \frac{x_1}{t} \sum_{k = 1}^{t} f\left( \frac{k}{t}x_1 \right) \end{eqnarray*} そしてこの時、$t$の値を限りなく大きくしたら、下の赤い部分の面積 と一致するのではないでしょうか。 よって、下の式が成り立つ事になります。 \begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} \frac{x_1}{t} \sum_{k = 1}^{t} f\left(\frac{k}{t} x_1\right) = \int_{0}^{x_1}f(u)du \tag{1} \end{eqnarray*} ちなみに、これも数IIIでやるそうです...。 というわけで、次回は、これを使ってグラフの長さを求めていこうと思います。 PART 2 のお知らせ 明日に PART 2 を投稿します。 PART 2↓ 【数学】グラフの長さを求める公式を求めてみた PART 2

【数学】グラフの長さを求める公式を求めてみた PART 2

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], processEscapes: true }, CommonHTML: { matchFontHeight: false }, displayAlign: "left", displayIndent: "2em" }); ご了承ください 僕は、現時点では、無限積や積分を習っていません。 多少のミスや間違いはご了承ください。 PART 分割について 今回は、長くなりそうなので、PART分割する事にしました。 次の記事は明日に投稿する予定なので、是非そちらもよろしくお願いします。 グラフの長さを求める それでは、本題である、グラフの長さを求めようと思います。 前回の、積分とシグマの関係と同じように、少しずつ抽象化(一般化)していきます。 まずは、下の画像を見て下さい。 この の長さを$L_1(x_1)$とすると、 \begin{eqnarray*} L_1(x_1) = \sum_{k = 1}^{4} \sqrt{\left(f\left(\frac{k - 1}{4}x_1 \right) - f\left(\frac{k}{4}x_1\right) \right)^2 + \left(\frac{x_1}{4}\right)^2} \\ \\ \end{eqnarray*} これは、三平方の定理を利用しています。では、前回のように、$t$個の線分があると考えると、$L_1(x_1)$は、 \begin{eqnarray*} L_1(x_1) = \sum_{k = 1}^{t} \sqrt{\left(f\left(\frac{k - 1}{t}x_1 \right) - f\left(\frac{k}{t}x_1\right) \right)^2 + \left(\frac{x_1}{t}\right)^2} \\ \\ \end{eqnarray*} となります。 しかし、この式自体はさほど意味はありません。 重要な事は、この式が、一次関数の線分の和を表しているという事です。 それでは、$t$を限りなく大きくした場合の事を考えます。 すると、下の画像のようになり、それは、グラフの長さと一致するはずです。 上のように、$x = x_0$の点において、底辺は$\frac{x_1}{t}$なので、 高さは、(底辺)×(傾き)となり、$\frac{x_1}{t}f'(x_0)$となります。 よって斜辺の長さは$\sqrt{\left(\frac{x_1}{t}f'(x_0)\right)^2 + \left(\frac{x_1}{t}\right)^2}$となり、つまりは、 $\frac{x_1}{t}\sqrt{f'(x_0)^2 + 1}$となります。 よって、グラフの長さをL_2(x_1)とすると、 \begin{eqnarray*} L_2(x_1) &=& \lim_{t = 1} \sum_{k = 1}^{t} \frac{x_1}{t}\sqrt{f'(\frac{k}{t}x_1)^2 + 1} \\ \\ &=& \lim_{t = 1} \frac{x_1}{t} \sum_{k = 1}^{t} \sqrt{f'(\frac{k}{t}x_1)^2 + 1} \end{eqnarray*} ここで、前回求めた(1)を使って、以下の式が得られます。よって、 \begin{eqnarray*} L_2(x_1) = \int_{0}^{x_1} \sqrt{f'(u)^2 + 1}du \end{eqnarray*} となります。つまり、これがグラフの長さを求める公式というわけです。 つまりは、下の の長さなわけです。 終わりに いかかだったでしょうか。 個人的には、結構自信作の記事です。 是非他の記事も見ていって下さると嬉しいです。 以上、グラフの長さについての話でした。

【数学】ラグランジュの補間を求める[長記事]

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], processEscapes: true }, CommonHTML: { matchFontHeight: false }, displayAlign: "left", displayIndent: "2em" }); 「ラグランジュの補間」について書く理由 今回この「ラグランジュの補間」についての記事を書こうと思ったのは、僕がこれを発見したからです。 という事で、今回は、僕が見つけた、ラグランジュの補間について、書いていこうと思います。 ラグランジュの補間とは:発見と目的 僕も、ラグランジュの補間を発見したことによって、ラグランジュの補間を知ったので、ラグランジュの補間というものを知らない人も多いのではないでしょうか。 まずは、ラグランジュの補間をどういう経緯で発見したのか、そしてどういうものかを説明します。 ラグランジュの補間の発見と目的 それで、結局ラグランジュの補間って何?という話ですが、それは、発見した経緯と共に話す事にします。 ラグランジュの補間というのは、結構誰でも考えそうな事を、式にしたものです。 例えば、下の画像を見てみてください。 この座標平面上の点について考えてみてください。 この点、無理やり曲線を作れそうに見えませんかね? 多分、皆さん、下の画像のようなグラフを思い浮かべたのではないのでしょうか。 まぁ、そりゃそうだ、というような感じですよね。 このように、いくつかの点をグラフにする、という発想から、ラグランジュの補間は発見されました。 つまり、ラグランジュの補間というのは、 「複数個の座標平面の点を通る滑らかなグラフを求めるためもの」というものです。 僕の見つけた、ラグランジュの補間 ラグランジュの補間とはどういうものか、という事を知ったところで、早速その内容について考えていこうと思います。 まずは、ラグランジュの補間の定義について見ていきましょう。 ちなみに、僕自身ラグランジュの補間についてはにわかなので、以下の式は、某数学サイトのものと合わせて書いてあります。 全てのx座標が異なる、n+1個の点($x_k$, $y_k$)($ 1 \leqq k \leqq n+1 $)について、 そのすべての点を通る多項式P(x)は一つに定まり、以下のように表される。 $f_i(x)=\displaystyle\prod_{k\neq i}(x-x_k)$ としたとき、 $P(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}y_i\dfrac{f_i(x)}{f_i(x_i)}$ とまぁ、そうとう謎ですよね。 という事で、これから解説していきます。 僕は、n個の点で考えたので、そちらで書きます。(やり方は全く変わりません。) xy座標平面上にx座標が違うn個の点$(x_k, y_k)$を通る曲線について考える。 その曲線を$F(x)$とする。今回は、これを求める対象である。 ここで、$x = x_i$ において $y_i$ となり、それ以外の点$(x = x_j)$においては 0 となる式について考える。 その項を$f_i(x)$とする。(最初の定義の$f_i(x)$とは別物です。) まずは、$x = x_i$ 以外において 0 となるような式を作る。 その式を $A_i(x)$ とすると、 \begin{eqnarray*} A_i(x) &=& (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) \cdots (x - x_{i - 1})(x - x_{i + 1}) \cdots (x - x_{n - 1})(x - x_n) \\ &=& \left( \prod_{k = 1}^{i - 1} (x - x_k) \right) \left( \prod_{k = i + 1}^{n} (x - x_k ) \right) \\ \end{eqnarray*} (最初に紹介した定義では、$k \neq i$ という表現をしていましたが、僕は上のような表現を使用しました。) 次に、$A_i(x)$ に掛けたら、$y_i$となるような式を考える。 ここで、$A_i(x)$ に $x_i$ が代入された時、$y_i$となる。(これが $f_i(x)$ である。) $A_i(x)$に、$y_i$を掛けて、さらに $B_i$ を掛ける事で、$y_i$となるようにする、という考え方をする。 \begin{eqnarray*} f_i(x) = y_i A_i(x) B_i \end{eqnarray*} $x_i$を代入して考えると、以下のような式となる。 $f_i(x)$ は、$x_i$を代入した時、$y_i$となるので、 \begin{eqnarray*} y_i = y_i A_i(x_i) B_i \\ B_i = \frac{1}{A_i(x_i)} \\ \end{eqnarray*} よって、 \begin{eqnarray*} f_i(x) &=& y_i \frac{A_i(x)}{A_i(x_i)} \\ &=& y_i \frac{\left( \prod_{k = 1}^{i - 1} (x - x_k) \right) \left( \prod_{k = i + 1}^{n} (x - x_k ) \right)}{\left( \prod_{k = 1}^{i - 1} (x_i - x_k) \right) \left( \prod_{k = i + 1}^{n} (x_i - x_k ) \right)} \\ &=& y_i \left( \prod_{k = 1}^{i - 1} \frac{x - x_k}{x_i - x_k} \right) \left( \prod_{k = i + 1}^{n} \frac{x - x_k}{x_i - x_k} \right) \end{eqnarray*} ここで、$f_i(x)$は、$x_i$以外の、設定された点のx座標を代入した時、0となり、 $x_i$を代入した時、$y_i$となることより、 iが1の時から、nの時までの$f_i(x)$を足した式でも、$x_i$を代入した時、$y_i$となる。 故に、その式が$F(x)$と一致する。 ※kをjに変更しています。 \begin{eqnarray*} F(x) &=& \sum_{i = 1}^{n} f_i(x) \\ &=& \sum_{i = 1}^{n} y_i \left( \prod_{j = 1}^{i - 1} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \right) \left( \prod_{j = i + 1}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \right) \end{eqnarray*} これで、解説終了です。 最後に どうだったでしょうか。 今回は、大きめの記事でした。 ミスがあったら、指摘してくださると嬉しいです。

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