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【数学】[分からない人向け]恒等式について解説

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], processEscapes: true }, CommonHTML: { matchFontHeight: false }, displayAlign: "left", displayIndent: "2em" }); 恒等式とは 恒等式について問題を理解するには、恒等式の定義について理解する必要があります。 $x$がどんな値でも成り立つ$x$を含む方程式を、$x$についての恒等式と言う。 もちろん、文字が増えても、恒等式と言います。 もっとしっかりとした定義は、教科書などで見ると良いと思います。 今回は、この恒等式の問題の解き方について解説したいと思います。 メジャーな問題と解き方と解説 問題の解説といっても、どのような問題について解説するの?という話ですね。 今回は、下のような問題について解説します。 次の式が$k$についての恒等式である時、$x, y, z$の値を求めなさい。 (1) $(x + y)k + (x + 2y + 1) = 0$ (2) $(x - 2y + z)k^2 + (2x + y - z - 1)k + (x + y + z - 6) = 0$ まぁこれは、初見では結構難しく感じるかもしれませんが、よくある問題なので、慣れている方が多いと思います。 この解き方は、ざっくりと以下の通りです。 (1) 左辺が0となるのは、$(x + y) = 0$ かつ $(x + 2y + 1) = 0$の時なので、 \(\left\{ \begin{array}{l} x + y = 0\\ x + 2y + 1 = 0 \end{array} \right.\) $\therefore$ \(\left\{ \begin{array}{1} x = 1 \\ y = -1 \end{array} \right.\) (2) 左辺が0となるのは、$(x - 2y + z) = 0$ かつ $(2x + y - z - 1) = 0$ かつ $(x + y + z - 6) = 0$の時なので、 \(\left\{ \begin{array}{l} x - 2y + z = 0\\ 2x + y - z - 1 = 0\\ x + y + z - 6 = 0 \end{array} \right.\) $\therefore$ \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3 \end{array} \right.\) だいたいこんな感じの解き方をします。 しかし、どうしてこの解き方で解が出るのでしょうか。 つまり、どうして他の解が無いと分かるのでしょうか。 解説 例えば、$Ak + B = 0$という式を見て下さい。 この会は、 $k = -\frac{B}{A}$となりますよね。 ここで、この式が$k$についての恒等式となるとき、どうなるでしょうか。 $k$の値に左右されず成り立つのが恒等式なので、kについての解を持たないわけです。 では、$k = -\frac{B}{A}$が解とならないためには、$-\frac{B}{A}$が不定になるのは、どの時でしょうか? それは、$A = 0$ かつ $B = 0$ の時ですよね。 つまり、$Ak + B = 0$ が$k$についての恒等式となる条件は、 $A = 0$ かつ $B = 0$ のみとなるわけです。 ご理解頂けたでしょうか? 以上、恒等式についての解説でした。

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