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【数学】グラフの長さを求める公式を求めてみた PART 1

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], processEscapes: true }, CommonHTML: { matchFontHeight: false }, displayAlign: "left", displayIndent: "2em" }); ご了承ください 僕は、現時点では、無限積や積分を習っていません。 多少のミスや間違いはご了承ください。 PART 分割について 今回は、長くなりそうなので、PART分割する事にしました。 次の記事は明日に投稿する予定なので、是非そちらもよろしくお願いします。 プロローグ:数学が好きなら、いつかは思うであろうこと グラフの長さを求めたい! 数学が好きなら、いつかは思う事なのではないでしょうか。 僕は微分を学習(独学)したときに思いました。 今回は、その「グラフの長さ」を求めて(一般化して)みたので、それを書いていこうと思います。 ちなみに、求めた後先生に見せたら、「数IIIでやる」とのことでした...。 準備:シグマと積分の関係 PART 1 では、これを求めていきます。 これは、解く流れで言ったら、終盤で必要になりますが、 先に証明しておいた方が、説明しやすいので、先に書くことにしました。 積分というのは、微分の逆であり、面積を求める事が出来るのでしたよね。 今回は、面積を求める、という事を使っていきます。 この、緑っぽい色 の面積を$S_1(x_1)$とおきます。 すると、面積は4つの長方形の合計となるので、以下のような等式が成り立ちます。 \begin{eqnarray*} S_1(x_1) &=& \sum_{k = 1}^4 \frac{x_1}{4}\cdot f\left(\frac{k}{4} x_1\right) \\ \\ &=& \frac{x_1}{4}\sum_{k = 1}^4 f\left(\frac{k}{4} x_1\right) \end{eqnarray*} ここで、長方形の個数を $t$ 個とした時の面積を考えてみましょう。 すると、以下のようになるのではないでしょうか。 \begin{eqnarray*} S_1(x_1) &=& \sum_{k = 1}^{t} \frac{x_1}{t}\cdot f\left( \frac{k}{t}x_1 \right) \\ \\ &=& \frac{x_1}{t} \sum_{k = 1}^{t} f\left( \frac{k}{t}x_1 \right) \end{eqnarray*} そしてこの時、$t$の値を限りなく大きくしたら、下の赤い部分の面積 と一致するのではないでしょうか。 よって、下の式が成り立つ事になります。 \begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} \frac{x_1}{t} \sum_{k = 1}^{t} f\left(\frac{k}{t} x_1\right) = \int_{0}^{x_1}f(u)du \tag{1} \end{eqnarray*} ちなみに、これも数IIIでやるそうです...。 というわけで、次回は、これを使ってグラフの長さを求めていこうと思います。 PART 2 のお知らせ 明日に PART 2 を投稿します。 PART 2↓ 【数学】グラフの長さを求める公式を求めてみた PART 2

【数学】グラフの長さを求める公式を求めてみた PART 2

MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']], processEscapes: true }, CommonHTML: { matchFontHeight: false }, displayAlign: "left", displayIndent: "2em" }); ご了承ください 僕は、現時点では、無限積や積分を習っていません。 多少のミスや間違いはご了承ください。 PART 分割について 今回は、長くなりそうなので、PART分割する事にしました。 次の記事は明日に投稿する予定なので、是非そちらもよろしくお願いします。 グラフの長さを求める それでは、本題である、グラフの長さを求めようと思います。 前回の、積分とシグマの関係と同じように、少しずつ抽象化(一般化)していきます。 まずは、下の画像を見て下さい。 この の長さを$L_1(x_1)$とすると、 \begin{eqnarray*} L_1(x_1) = \sum_{k = 1}^{4} \sqrt{\left(f\left(\frac{k - 1}{4}x_1 \right) - f\left(\frac{k}{4}x_1\right) \right)^2 + \left(\frac{x_1}{4}\right)^2} \\ \\ \end{eqnarray*} これは、三平方の定理を利用しています。では、前回のように、$t$個の線分があると考えると、$L_1(x_1)$は、 \begin{eqnarray*} L_1(x_1) = \sum_{k = 1}^{t} \sqrt{\left(f\left(\frac{k - 1}{t}x_1 \right) - f\left(\frac{k}{t}x_1\right) \right)^2 + \left(\frac{x_1}{t}\right)^2} \\ \\ \end{eqnarray*} となります。 しかし、この式自体はさほど意味はありません。 重要な事は、この式が、一次関数の線分の和を表しているという事です。 それでは、$t$を限りなく大きくした場合の事を考えます。 すると、下の画像のようになり、それは、グラフの長さと一致するはずです。 上のように、$x = x_0$の点において、底辺は$\frac{x_1}{t}$なので、 高さは、(底辺)×(傾き)となり、$\frac{x_1}{t}f'(x_0)$となります。 よって斜辺の長さは$\sqrt{\left(\frac{x_1}{t}f'(x_0)\right)^2 + \left(\frac{x_1}{t}\right)^2}$となり、つまりは、 $\frac{x_1}{t}\sqrt{f'(x_0)^2 + 1}$となります。 よって、グラフの長さをL_2(x_1)とすると、 \begin{eqnarray*} L_2(x_1) &=& \lim_{t = 1} \sum_{k = 1}^{t} \frac{x_1}{t}\sqrt{f'(\frac{k}{t}x_1)^2 + 1} \\ \\ &=& \lim_{t = 1} \frac{x_1}{t} \sum_{k = 1}^{t} \sqrt{f'(\frac{k}{t}x_1)^2 + 1} \end{eqnarray*} ここで、前回求めた(1)を使って、以下の式が得られます。よって、 \begin{eqnarray*} L_2(x_1) = \int_{0}^{x_1} \sqrt{f'(u)^2 + 1}du \end{eqnarray*} となります。つまり、これがグラフの長さを求める公式というわけです。 つまりは、下の の長さなわけです。 終わりに いかかだったでしょうか。 個人的には、結構自信作の記事です。 是非他の記事も見ていって下さると嬉しいです。 以上、グラフの長さについての話でした。

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