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【数学】駿台模試の問題を深めてみる

By ぐろこーん

今回は、駿台模試の問題を少し改造して、研究してみました。

駿台模試を受けた感想

投稿が遅れました、申し訳ございません。

十数日前に、駿台模試がありました。

僕は、今回が2,3回目ぐらいですかね。

その駿台模試の数学で、とても、僕の性格に似た問題が出たので、今回はそれを紹介&深めていこうと思います。

駿台模試数学【4】

駿台模試の数学の【4】、これは恒等式についての問題でした。

受けた方は、印象に残った問題だったと思います。

受けてない方にもわかるように、大まかにどんな問題だったか説明したいと思います。

※著作権侵害を防ぐため、多少問題文を伏せます。(3)だけは詳しく書きます。

【4】 (1) ~が恒等式となるときの$a, b, c$の値を求めなさい。
(答えを代入すると、$-(x^2 - 7) + (x - 2)(x + 2) = 3$、となる)
(2) 正式~を$(x - 2)$で割ったときの余りを求めなさい。
(剰余定理で簡単に512と導ける。また、今回は、この正式を$S(x)$とおく。)
(3)整数係数の正式$f(x), g(x)$に対し、
$f(x) \sim g(x)$
とは
$f(x) - g(x) = (x^2 - 7)p(x) + (x - 2)q(x)$がxについての恒等式
となるような整数係数の整式$p(x), q(x)$が存在する
ということであると定義する。
(i) (1),(2)を用いて、$S(x) \sim 2$ であることを示せ。
(ii) 整数係数のすべての整式$f(x)$に対し、
$f(x) \sim 0$ または、$f(x) \sim 1$ または、$f(x) \sim 2$
が成り立つ事を示せ。
(iii) $a, b$ を 0 以上 2 以下の整数とするとき、$a \sim b$のとき、$a = b$であることを示せ。

といった感じです。

いかにも作成者の人間味が出てる問題だと思います。

こういった問題は、テスト対策だけじゃ解けない問題ですね。

ですが、僕は相性が良かったというか、僕の数学のタイプに似た問題だったので、解けました。

という訳で、今回は、この問題を深めていきます。

【4】(3)(ii)の証明

まずは、この証明を見てイメージを湧かせましょう。

自分で証明はしましたが、多少模範解答に寄せて書きます。

まず、
$f(x) = (x - 2)P(x) + R$
とおく。
また、$R = 3m + n$($0 \leqq n \leqq 2$ かつ $(m, n)$は整数)とおく。
すると、$f(x) = (x - 2)P(x) + 3m + n$
ここで、(1)より、
$3 = -(x^2 - 7) + (x - 2)(x + 2)$なので、
\begin{eqnarray*} f(x) - n &=& (x - 2)P(x) + 3m \\ &=& (x - 2)P(x) + \left\{ -(x^2 - 7) + (x + 2)(x - 2) \right\} * m \\ &=& (x^2 - 7) * (-m) + (x - 2) \left\{ P(x) + m(x + 2) \right\} \end{eqnarray*} よって、$f(x) \sim n$ が成り立つ。

ここで、$0 \leqq n \leqq 2$ かつ$n$は整数より、

$f(x) \sim 0$ または、$f(x) \sim 1$ または、$f(x) \sim 2$

といった感じです。

証明を見れば、案外普通の数学の問題という感じがしますよね

ですが、問題のアイディア自体はとても面白くないでしょうか?

というわけで、深めていこうと思います。

(3)の定義を拡張

さて、ここから面白くしていきます。

まず、定義を拡張、そして多少変更しましょう。

$f(x) \sim g(x)[a,b]$
とは
$f(x) - g(x) = (x^2 + a)p(x) + (x + b)q(x)$ が$x$についての恒等式
となるような整数係数の整式$p(x), q(x)$が存在する。ただし$a, b$は整数。
ということであると定義する。

少し自由度が増しました。

それでは、研究していきましょう。

$f(x) \sim g(x)[a,b]$について

早速、(3)と同じように考えていこうと思います。

まず、準備として、下のような恒等式を証明しておきます。

\begin{eqnarray} (x^2 + a) &-&(x + b)(x - b)\\ &=& x^2 + a - x^2 + b^2\\ &=& a + b^2 \end{eqnarray}

つぎに、$f(x), g(x)$を変形、置き換えします。

\begin{equation} \begin{cases} f(x) = (x + b)P(x) + s(a + b^2) + u\\ g(x) = (x + b)Q(x) + t(a + b^2) + v \end{cases} \end{equation} とおく。
ただし、
\begin{equation} \begin{cases} 0 \leqq u < a + b^2 \\ 0 \leqq v < a + b^2 \end{cases} \end{equation} とし、$s, t, u, v$は整数とする。

それでは、本命である、$f(x) - g(x)$の変形を行っていこうと思います。

\begin{eqnarray*} f(x) - g(x) &=& (x + b)(P(x) - Q(x)) + (s - t)(a + b^2) + u - v \\ &=& (x + b)(P(x) - Q(x)) + (s - t){(x^2 + a) - (x - b)(x + b)} + u - v\\ &=& (s - t)(x^2 + a) + (x + b)(P(x) - Q(x) + (s - t)) + u - v \end{eqnarray*} よって、$f(x) \sim g(x)[a,b]$である時、
\begin{equation} u - v = 0 \end{equation} ゆえに、$f(x) \sim g(x)[a,b]$が成り立つ条件は、
\begin{equation} f(-b) - g(-b) \equiv 0 (mod (a + b^2)) \end{equation} となる。

このような感じになりました。

終わりに

今回はこの程度にしておきます。

皆さんも、他人の作った問題を、深く考察してみてはどうでしょうか。

以上、駿台模試の問題についての話でした。

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