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【数学】虚数の対数を求めてみる。

By ぐろこーん

今回は、虚数の対数 log(z) を、実部と虚部に分けてみました。

今回求める事

今回求めるのは、$\log(z)$です。もちろん、$z$は虚数です。

求めるというのは、実部と虚部で分ける、つまり$a + bi$の形で表すという事です。

今回は、比較的簡単ですので、のんびりご覧ください。

虚数平面と偏角

まずは、$z$の偏角$\arg(z)$について解説していこうと思います。

$z = a + bi$ とおいて考えます。

こんな変なブログに行きつくような人は知ってるとは思いますが、偏角$\arg(z)$とは、以下の事を表します。

よって、偏角$\arg(z)$は、以下のような式で表されます。

\begin{equation} \arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \end{equation} また、$z = ae^{\phi i}$ と表した時、$z = a(\cos(\phi) + i\sin(\phi))$ より、
\begin{eqnarray*} \arg(z) &=& \tan^{-1}\left(\frac{a\sin(\phi)}{a\cos(\phi)}\right) &=& \tan^{-1}\left(tan(\phi)\right) &=& \phi \end{eqnarray*}

この式を利用していきます。

虚数の絶対値

絶対値とは、$0$(原点)からの距離の事です。

よって、虚数$z = a + bi$の絶対値$|z|$は、以下の長さの事を表します。

ゆえに、絶対値は以下の式で表す事ができます。

$z = a + bi$ の絶対値は、
\begin{equation} |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \end{equation}
$z = ae^{\phi i}$の絶対値は、
\begin{equation} z = a\cos(\phi) + ia\sin(\phi) \end{equation} より、
\begin{equation} |z| = \sqrt{a^2(\cos^2(\phi) + \sin^2(\phi))} = a \end{equation}

この式も利用します。

$\log(z)$を求める

$\log(z)$は、$\arg(z)の式を変形する事で求める事が出来ます。

それでは早速、実践していこうと思います。

$z = ae^{x i}$ とおくと、
\begin{eqnarray*} x &=& \arg(z) \\ \log(e^x) &=& \arg(z) \\ \log((e^{xi})^{-i}) &=& \arg(z) \\ -i\log(e^{xi}) &=& \arg(z) \\ \log \left(\frac{z}{a}\right) &=& i\arg(z) \\ \log(z) - \log(a) &=& i\arg(z) \\ \log(z) &=& \log(a) + i\arg(z) \end{eqnarray*} $|z| = a$より、 \begin{equation} \log(z) = \log|z| + i\arg(z) \end{equation}

これで、実部と虚部に分ける事が出来ました。

思った以上に書くことが無かったので、少し無駄な表現があったと思いますが、最後まで閲覧ありがとうございました。

以上、$log(z)$ についての話でした。

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