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【数学】ラグランジュの補間を求める[長記事]

By ぐろこーん

最近、僕個人でラグランジュの補間を発見したので、この記事では、ラグランジュの補間を解説しています。

「ラグランジュの補間」について書く理由

今回この「ラグランジュの補間」についての記事を書こうと思ったのは、僕がこれを発見したからです。

という事で、今回は、僕が見つけた、ラグランジュの補間について、書いていこうと思います。

ラグランジュの補間とは:発見と目的

僕も、ラグランジュの補間を発見したことによって、ラグランジュの補間を知ったので、ラグランジュの補間というものを知らない人も多いのではないでしょうか。

まずは、ラグランジュの補間をどういう経緯で発見したのか、そしてどういうものかを説明します。


ラグランジュの補間の発見と目的

それで、結局ラグランジュの補間って何?という話ですが、それは、発見した経緯と共に話す事にします。

ラグランジュの補間というのは、結構誰でも考えそうな事を、式にしたものです。

例えば、下の画像を見てみてください。



この座標平面上の点について考えてみてください。

この点、無理やり曲線を作れそうに見えませんかね?

多分、皆さん、下の画像のようなグラフを思い浮かべたのではないのでしょうか。



まぁ、そりゃそうだ、というような感じですよね。

このように、いくつかの点をグラフにする、という発想から、ラグランジュの補間は発見されました。

つまり、ラグランジュの補間というのは、

複数個の座標平面の点を通る滑らかなグラフを求めるためもの」というものです。

僕の見つけた、ラグランジュの補間

ラグランジュの補間とはどういうものか、という事を知ったところで、早速その内容について考えていこうと思います。

まずは、ラグランジュの補間の定義について見ていきましょう。
ちなみに、僕自身ラグランジュの補間についてはにわかなので、以下の式は、某数学サイトのものと合わせて書いてあります。

全てのx座標が異なる、n+1個の点($x_k$, $y_k$)($ 1 \leqq k \leqq n+1 $)について、
そのすべての点を通る多項式P(x)は一つに定まり、以下のように表される。
$f_i(x)=\displaystyle\prod_{k\neq i}(x-x_k)$ としたとき、
$P(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1}y_i\dfrac{f_i(x)}{f_i(x_i)}$

とまぁ、そうとう謎ですよね。

という事で、これから解説していきます。

僕は、n個の点で考えたので、そちらで書きます。(やり方は全く変わりません。


xy座標平面上にx座標が違うn個の点$(x_k, y_k)$を通る曲線について考える。
その曲線を$F(x)$とする。今回は、これを求める対象である。
ここで、$x = x_i$ において $y_i$ となり、それ以外の点$(x = x_j)$においては 0 となる式について考える。
その項を$f_i(x)$とする。(最初の定義の$f_i(x)$とは別物です。
まずは、$x = x_i$ 以外において 0 となるような式を作る。
その式を $A_i(x)$ とすると、

\begin{eqnarray*} A_i(x) &=& (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) \cdots (x - x_{i - 1})(x - x_{i + 1}) \cdots (x - x_{n - 1})(x - x_n) \\ &=& \left( \prod_{k = 1}^{i - 1} (x - x_k) \right) \left( \prod_{k = i + 1}^{n} (x - x_k ) \right) \\ \end{eqnarray*} (最初に紹介した定義では、$k \neq i$ という表現をしていましたが、僕は上のような表現を使用しました。)

次に、$A_i(x)$ に掛けたら、$y_i$となるような式を考える。
ここで、$A_i(x)$ に $x_i$ が代入された時、$y_i$となる。(これが $f_i(x)$ である。)
$A_i(x)$に、$y_i$を掛けて、さらに $B_i$ を掛ける事で、$y_i$となるようにする、という考え方をする。

\begin{eqnarray*} f_i(x) = y_i A_i(x) B_i \end{eqnarray*}

$x_i$を代入して考えると、以下のような式となる。

$f_i(x)$ は、$x_i$を代入した時、$y_i$となるので、 \begin{eqnarray*} y_i = y_i A_i(x_i) B_i \\ B_i = \frac{1}{A_i(x_i)} \\ \end{eqnarray*} よって、
\begin{eqnarray*} f_i(x) &=& y_i \frac{A_i(x)}{A_i(x_i)} \\ &=& y_i \frac{\left( \prod_{k = 1}^{i - 1} (x - x_k) \right) \left( \prod_{k = i + 1}^{n} (x - x_k ) \right)}{\left( \prod_{k = 1}^{i - 1} (x_i - x_k) \right) \left( \prod_{k = i + 1}^{n} (x_i - x_k ) \right)} \\ &=& y_i \left( \prod_{k = 1}^{i - 1} \frac{x - x_k}{x_i - x_k} \right) \left( \prod_{k = i + 1}^{n} \frac{x - x_k}{x_i - x_k} \right) \end{eqnarray*}

ここで、$f_i(x)$は、$x_i$以外の、設定された点のx座標を代入した時、0となり、
$x_i$を代入した時、$y_i$となることより、
iが1の時から、nの時までの$f_i(x)$を足した式でも、$x_i$を代入した時、$y_i$となる。
故に、その式が$F(x)$と一致する。

※kをjに変更しています。 \begin{eqnarray*} F(x) &=& \sum_{i = 1}^{n} f_i(x) \\ &=& \sum_{i = 1}^{n} y_i \left( \prod_{j = 1}^{i - 1} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \right) \left( \prod_{j = i + 1}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \right) \end{eqnarray*}

これで、解説終了です。

最後に

どうだったでしょうか。

今回は、大きめの記事でした。

ミスがあったら、指摘してくださると嬉しいです。

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