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【数学】グラフの長さを求める公式を求めてみた PART 2

By ぐろこーん

今回は、前回求めた式も用いて、グラフの長さを求めました。

ご了承ください

僕は、現時点では、無限積や積分を習っていません。

多少のミスや間違いはご了承ください。

PART 分割について

今回は、長くなりそうなので、PART分割する事にしました。

次の記事は明日に投稿する予定なので、是非そちらもよろしくお願いします。

グラフの長さを求める

それでは、本題である、グラフの長さを求めようと思います。

前回の、積分とシグマの関係と同じように、少しずつ抽象化(一般化)していきます。

まずは、下の画像を見て下さい。


この の長さを$L_1(x_1)$とすると、

\begin{eqnarray*} L_1(x_1) = \sum_{k = 1}^{4} \sqrt{\left(f\left(\frac{k - 1}{4}x_1 \right) - f\left(\frac{k}{4}x_1\right) \right)^2 + \left(\frac{x_1}{4}\right)^2} \\ \\ \end{eqnarray*}

これは、三平方の定理を利用しています。では、前回のように、$t$個の線分があると考えると、$L_1(x_1)$は、

\begin{eqnarray*} L_1(x_1) = \sum_{k = 1}^{t} \sqrt{\left(f\left(\frac{k - 1}{t}x_1 \right) - f\left(\frac{k}{t}x_1\right) \right)^2 + \left(\frac{x_1}{t}\right)^2} \\ \\ \end{eqnarray*}

となります。

しかし、この式自体はさほど意味はありません。

重要な事は、この式が、一次関数の線分の和を表しているという事です。

それでは、$t$を限りなく大きくした場合の事を考えます。

すると、下の画像のようになり、それは、グラフの長さと一致するはずです。


上のように、$x = x_0$の点において、底辺は$\frac{x_1}{t}$なので、
高さは、(底辺)×(傾き)となり、$\frac{x_1}{t}f'(x_0)$となります。

よって斜辺の長さは$\sqrt{\left(\frac{x_1}{t}f'(x_0)\right)^2 + \left(\frac{x_1}{t}\right)^2}$となり、つまりは、

$\frac{x_1}{t}\sqrt{f'(x_0)^2 + 1}$となります。

よって、グラフの長さをL_2(x_1)とすると、

\begin{eqnarray*} L_2(x_1) &=& \lim_{t = 1} \sum_{k = 1}^{t} \frac{x_1}{t}\sqrt{f'(\frac{k}{t}x_1)^2 + 1} \\ \\ &=& \lim_{t = 1} \frac{x_1}{t} \sum_{k = 1}^{t} \sqrt{f'(\frac{k}{t}x_1)^2 + 1} \end{eqnarray*}

ここで、前回求めた(1)を使って、以下の式が得られます。よって、

\begin{eqnarray*} L_2(x_1) = \int_{0}^{x_1} \sqrt{f'(u)^2 + 1}du \end{eqnarray*}

となります。つまり、これがグラフの長さを求める公式というわけです。

つまりは、下の の長さなわけです。

終わりに

いかかだったでしょうか。

個人的には、結構自信作の記事です。

是非他の記事も見ていって下さると嬉しいです。

以上、グラフの長さについての話でした。

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