【数学】グラフの長さを求める公式を求めてみた PART 2
By ぐろこーん今回は、前回求めた式も用いて、グラフの長さを求めました。
ご了承ください
僕は、現時点では、無限積や積分を習っていません。
多少のミスや間違いはご了承ください。
PART 分割について
今回は、長くなりそうなので、PART分割する事にしました。
次の記事は明日に投稿する予定なので、是非そちらもよろしくお願いします。
グラフの長さを求める
それでは、本題である、グラフの長さを求めようと思います。
前回の、積分とシグマの関係と同じように、少しずつ抽象化(一般化)していきます。
まずは、下の画像を見て下さい。
この の長さを$L_1(x_1)$とすると、
これは、三平方の定理を利用しています。では、前回のように、$t$個の線分があると考えると、$L_1(x_1)$は、
となります。
しかし、この式自体はさほど意味はありません。
重要な事は、この式が、一次関数の線分の和を表しているという事です。
それでは、$t$を限りなく大きくした場合の事を考えます。
すると、下の画像のようになり、それは、グラフの長さと一致するはずです。
上のように、$x = x_0$の点において、底辺は$\frac{x_1}{t}$なので、
高さは、(底辺)×(傾き)となり、$\frac{x_1}{t}f'(x_0)$となります。
よって斜辺の長さは$\sqrt{\left(\frac{x_1}{t}f'(x_0)\right)^2 + \left(\frac{x_1}{t}\right)^2}$となり、つまりは、
$\frac{x_1}{t}\sqrt{f'(x_0)^2 + 1}$となります。
よって、グラフの長さをL_2(x_1)とすると、
ここで、前回求めた(1)を使って、以下の式が得られます。よって、
となります。つまり、これがグラフの長さを求める公式というわけです。
つまりは、下の の長さなわけです。
終わりに
いかかだったでしょうか。
個人的には、結構自信作の記事です。
是非他の記事も見ていって下さると嬉しいです。
以上、グラフの長さについての話でした。