【数学】グラフの長さを求める公式を求めてみた PART 1

By ぐろこーん

今回は、PART 2 に入る前の準備として、積分とシグマの関係を説明しました。

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ご了承ください

僕は、現時点では、無限積や積分を習っていません。

多少のミスや間違いはご了承ください。

PART 分割について

今回は、長くなりそうなので、PART分割する事にしました。

次の記事は明日に投稿する予定なので、是非そちらもよろしくお願いします。

プロローグ：数学が好きなら、いつかは思うであろうこと

グラフの長さを求めたい！
数学が好きなら、いつかは思う事なのではないでしょうか。

僕は微分を学習（独学）したときに思いました。

今回は、その「グラフの長さ」を求めて（一般化して）みたので、それを書いていこうと思います。

ちなみに、求めた後先生に見せたら、「数IIIでやる」とのことでした...。

準備：シグマと積分の関係

PART 1 では、これを求めていきます。

これは、解く流れで言ったら、終盤で必要になりますが、
先に証明しておいた方が、説明しやすいので、先に書くことにしました。

積分というのは、微分の逆であり、面積を求める事が出来るのでしたよね。

今回は、面積を求める、という事を使っていきます。

この、緑っぽい色　の面積を$S_1(x_1)$とおきます。
すると、面積は4つの長方形の合計となるので、以下のような等式が成り立ちます。

\begin{eqnarray*} S_1(x_1) &=& \sum_{k = 1}^4 \frac{x_1}{4}\cdot f\left(\frac{k}{4} x_1\right) \\ \\ &=& \frac{x_1}{4}\sum_{k = 1}^4 f\left(\frac{k}{4} x_1\right) \end{eqnarray*}

ここで、長方形の個数を $t$ 個とした時の面積を考えてみましょう。

すると、以下のようになるのではないでしょうか。

\begin{eqnarray*} S_1(x_1) &=& \sum_{k = 1}^{t} \frac{x_1}{t}\cdot f\left( \frac{k}{t}x_1 \right) \\ \\ &=& \frac{x_1}{t} \sum_{k = 1}^{t} f\left( \frac{k}{t}x_1 \right) \end{eqnarray*}

そしてこの時、$t$の値を限りなく大きくしたら、下の赤い部分の面積　と一致するのではないでしょうか。

よって、下の式が成り立つ事になります。

\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} \frac{x_1}{t} \sum_{k = 1}^{t} f\left(\frac{k}{t} x_1\right) = \int_{0}^{x_1}f(u)du \tag{1} \end{eqnarray*}

ちなみに、これも数IIIでやるそうです...。

というわけで、次回は、これを使ってグラフの長さを求めていこうと思います。

PART 2 のお知らせ

明日に PART 2 を投稿します。

PART 2↓
【数学】グラフの長さを求める公式を求めてみた PART 2