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【数学】連続する自然数の和で表せる数と規則性(証明)

By ぐろこーん

連続する自然数の和で表せる数には規則性があります。証明もしてみたので、見てみてください。

この記事を書くに至った経緯

今日は連続する自然数の和で表される自然数について書いていきたいと思います。

今日の部活で$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$について友達と話し合っていたのですが、それが連続する自然数の和で表される自然数についての議論に発展しました。

まぁ、知っている方は知っていると思います。

そこからいろいろ考えていった結果、表せる自然数の規則性とそれの証明がなんとなく出来ました。

それでもって、今回は連続する自然数の和について触れていきたいと思います。

規則性を予想

5 = 2 + 3
17 = 8 + 9
24 = 7 + 8 + 9
32 = ...??

さあ、もうすでに上の式で気づいている方もいるかもしれませんが、簡単な規則性があります。

まずは、足している自然数の個数についてです。

3 = 1 + 2, 5 = 2 + 3, 7 = 3 + 4
などなど、自然数が奇数の時は、連続する2つの自然数で表すことができますよね。では偶数ではどうでしょうか。

2 = ?, 4 = ?, 6 = 1 + 2 + 3, 8 = ?, 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 12 = 3 + 4 + 5

偶数に関してはよく分からないように見えますが、$2^r$となるものだけ、表せてないですよね。

こんな感じで、16ぐらいまでやると、$2^r$ で表される自然数のみ、連続する自然数の和で表すことが出来なさそうですよね。1も不可能ですね。

では実際に証明をして、確かめてみましょう。

規則性の証明

僕の証明は独創的だと、東○ゼミナールの先生方が言っていたので、ご注意ください。
分かりにくかったら、twitterかinfo@progblog-note.comにて、聞いてください。


\[ n = \sum_{k=a}^b k \\ (n, a, b はともに自然数とする)\\ これを満たすnは1以外の 2^r ( r は自然数)で表すことが出来ない自然数である。\\ .\\ [証明]\\ p, q, r を自然数とする。\\ .\\ i) nが奇数の倍数の時\\ n = (2p + 1)q = \sum_{k=-p}^p (q + k)\tag{1}\\ p < q の時、(1)の(q + k)はすべて自然数となる。\\ p ≧ q の時、\\ r = p - qとすると、 n > 0 より、r < (q + p) であるので、下のように式変形できる\\ \] \begin{align*} n &= (q - p) + (q - p + 1) + (q - p + 2) + \cdots + 0 + \cdots + (q + p - 1) + (q + p)\\ &= -r + (-r + 1) + (-r + 2) + \cdots + 0 + \cdots + (r - 2) + (r - 1) + r \cdots + (q + p - 1) + (q + p)\\ &= \sum_{k=r+1}^{p + q} k\\ &= \sum_{k=p-q+1}^{p + q} k\\ \end{align*} \[ このように、p < q の時、p ≧ q の時、どちらも連続する自然数の和で表される。\\ .\\ ii) nが奇数の倍数でない時、すなわち、nが2^rで表される時\\ まず、nは連続する自然数の和で表すことが出来る。\\ .\\ n = 2pq と表すことができる。\\ nは奇数の倍数でないので、p, qも奇数の倍数でない。\tag{2}\\ nは2pで割ることが出来るので、2p個の連続する自然数の和として計算することができる。\\ しかし、ここで、2p個の連続する自然数の和を計算しようとすると、\\ \] \begin{align*} n &= (q - p + 1) + (q - p + 2) + (q - p + 3) + \cdots + (q + p - 2) + (q + p - 1) + (q + p)\\ &= 2q + p\\ \end{align*} \[ となって、pが余ってしまう。ここで、\\ n = 2pq と定めたので、 \] \begin{align*} 2pq &= 2q + p\\ p(2q + 1) &= 2q\\ \end{align*} \[ p, qは自然数であるので、p(2q + 1)は奇数の倍数である。すなわち、2qは奇数の倍数である。\\ ここで、(2)と反するので、仮定が間違っている。\\ つまり、nは連続する自然数の和で表す事ができない。\\.\\ iii)n=1の時\\ 1を連続する自然数の和で表せないことは自明である\\.\\.\\ i)ii)iii)より、連続する自然数の和で表されるのは、1以外で、2^rで表すことのできない自然数すべてである。\\ 終了 \] \[ まぁ、こう言われると、少し分かりにくいですが\\ ようは、1と2^rと表せる自然数のみ連続する自然数の和で表せないという事です。 \]

証明の感想

思っていた通り、なんとも説明しにくい証明方法でした。

もし受験でこの証明問題が出たとして、これで通るかどうかと言われたら、何とも言えないですね。部分点ぐらいは貰えるとは思いますが。

MathJaxを使用した証明でしたので、打つのが面倒でしたが、プログラミングに似ているものがあるので、少し楽しかったです。

証明に間違っている所があれば、お願いします。

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