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【数学】[分からない人向け]直線を表すベクトル、p = sa + tb (s + t = 1) って結局どういうイメージなのか

By ぐろこーん

今回は、直線を表すベクトルについて解説します。分からない人向けです。

今回の目的

今回は、分からない人向けの記事です。

ベクトルの下の式について解説します。

A(\vec{a}), B(\vec{b})において、直線AB上にある点P($\vec{p})について

\begin{eqnarray*} \vec{AP} &=& t\vec{AB} \tag{1}\\ \\ \vec{p} &=& t\vec{a} + (1 - t)\vec{b} \tag{2}\\ \\ \vec{p} &=& s\vec{a} + t\vec{b} \quad (s + t = 1) \tag{3}\\ \\ \end{eqnarray*}

これらの式は、式変形では簡単に求まるのにイメージしずらい式だと思います。

何故係数を足したら1になる式が、直線を表すことが出来るのか、という疑問を持っている人もいるのではないかと思いました。

なので、今回は、どうイメージするかを解説します。

まずは式で求めてみる

最初は、普通に式変形で求めてみます。

あの式に成り立つ経緯を覚えておく事は大事です。

A($\vec{a}$), B($\vec{b}$)とし、直線AB上にある任意の点をP($\vec{p}$)とする。

PはAB上にあるので、AP//ABである。よって、

\begin{eqnarray*} \vec{AP} &=& \vec{AB}\tag{1} \\ \\ \vec{p} - \vec{a} &=& t\vec{b} - t\vec{a} \\ \\ \vec{p} &=& \vec{a} - t\vec{a} + t\vec{b} \\ \\ \vec{p} &=& (1 - t)\vec{a} + t\vec{b}\tag{2} \\ \\ \text{ここで、} s = 1 - t \text{すなわち} s + t = 1 \text{とおくと、} \\ \\ \vec{p} &=& s\vec{a} + t\vec{b}\quad(s + t = 1)\tag{3} \\ \\ \end{eqnarray*}

こんな感じでしょうか。

流石に、これをもっと細かく解説するのは、分かりずらくなると思うので、

この証明を理解できなかった人は、もっと根元の部分を復習してきてください。

そんなわけで、数行で証明できてしまいましたね。

それでは、$\vec{p}$が一直線上にあることがイメージできましたか?

出来るわけ無いですよね。

そういう訳で、次のセクションに入ります。

イメージで理解する

さあ、式で証明して、とりあえず成り立つ事は分かりました。

では、イメージの仕方について解説していきます。

このセクションでは、$\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b} \quad (s + t = 1)$ について解説します。

まず、ここで重要なのは、s + t = 1 という概念を理解することです。

s = 1, t = 0 の時を考えてみてください。


上の図は、で考えてください。

この図では、もちろん、PとAが重なる事になります。

そして、この高さの比率が1である、と考えてください。

この図だけでは不十分なので、別の図を見せます。


この図で理解できると思います。

斜辺と高さの比率が一致するという事は知っていますよね。

それと似たような感じです。

濃い赤の$s\vec{a}$というのは、高さの比率が1の中で、sの分だけ使っている、と考えてください。

もちろん、濃い青の$t\vec{b}$というのは、高さの比率が1の中でtの分だけ使っている、と考えてください。

また、考えにくかったら、薄い色のベクトルを考えてください。

例えば、上の図の薄い青色のベクトルと、濃い赤色のベクトルに注目してください。

濃い赤は$s\vec{a}$を、薄い青は$s\vec{b}$を表しています。

向きは違えど、高さの比率はsのままですよね。

つまり、ベクトルの向きと関係なしに、高さの比率が決まっているわけです。

そんなわけで、どんなベクトルであれど、全て高さの比が1となるわけです。

よって、一直線上にあるわけです。

最後に

少し独特な説明だったので、理解しずらい部分もあったかもしれません。

しかし、一人でも理解していただけたなら幸いです。

以上、ベクトルについての話でした。

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