【数学】[分からない人向け]ベクトルの一次独立のイメージの仕方
By ぐろこーん今回は、”一次独立でsa + tb = s'a + t'bの時、s=s'かつt=t'である” のイメージの仕方を解説します。
一次独立とは
一次独立って結構使いますか?
僕はよく使います。というよりも、使うように指導されました。
しかし、学校の方針でまったく習わない学校があるという事を聞いたので、まずは一時独立とは、どういう状態かを説明します。
また、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が一次独立であり、$s\vec{a} + t\vec{b} = s'\vec{a} + t'\vec{b}$ の時、
$s = s'$ かつ $t = t'$
とまぁ、こういった感じです。
これは、三次元空間なら三つのベクトル、四次元空間なら四つのベクトルにおいて、この事が成り立ちます。
今回は、これが成り立つ事を「イメージする」方法について解説します。
二次元座標から平行四辺形を作り、二次元座標を表す
一次独立をイメージするには、二次元座標についての理解が必要です。
まずは、ノートか何かに、平行でない二線を引いてみてください。
出来れば垂直じゃないほうがいいです。(垂直だと、一次独立の理解にはあまりつながらないため)
次は、どこか一点に点Pをとってください。
そして、平行でない二線の交点を原点とし、その二線に沿ってOとPを対角とする平行四辺形を書いてみてください。
以下のような感じです。
αとβが二つの軸となっています。
そして、濃い青色が、平行四辺形を成すための線です。
しかし、β軸の値を少しずらして、αと平行な線を引いてみてください。
すると、すでにPと交わらないので、平行四辺形を作ることができません。
よって、”α軸β軸どちらか値をずらすと、P点を表せない” という事が分かるわけです。
ベクトルに変換して考える
それでは、さっき書いた軸の方向に、適当な大きさのベクトルを書いてみてください。
そして、平行四辺形の辺の長さに合わせて、ベクトルを拡張してみてください。
すると、以下のようになると思います。
そして、「α軸β軸どちらか値をずらすと、P点を表せない」のでしたよね。
つまり、上の画像に関して、"s, t の値を変えると、P点を表せない"
すなわち"s, t の値は一つしかない"という事が分かるわけです。
また、このイメージの仕方で、三次元空間、四次元空間もイメージする事が出来ます。
これでイメージ出来たでしょうか?
以上、一次独立のイメージについてでした。