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【数学】[分からない人向け]恒等式について解説

By ぐろこーん

今回は、恒等式の問題の解き方が、どうして成り立つのか解説しました。

恒等式とは

恒等式について問題を理解するには、恒等式の定義について理解する必要があります。

$x$がどんな値でも成り立つ$x$を含む方程式を、$x$についての恒等式と言う。

もちろん、文字が増えても、恒等式と言います。

もっとしっかりとした定義は、教科書などで見ると良いと思います。

今回は、この恒等式の問題の解き方について解説したいと思います。

メジャーな問題と解き方と解説

問題の解説といっても、どのような問題について解説するの?という話ですね。

今回は、下のような問題について解説します。

次の式が$k$についての恒等式である時、$x, y, z$の値を求めなさい。
(1) $(x + y)k + (x + 2y + 1) = 0$
(2) $(x - 2y + z)k^2 + (2x + y - z - 1)k + (x + y + z - 6) = 0$

まぁこれは、初見では結構難しく感じるかもしれませんが、よくある問題なので、慣れている方が多いと思います。

この解き方は、ざっくりと以下の通りです。

(1)
左辺が0となるのは、$(x + y) = 0$ かつ $(x + 2y + 1) = 0$の時なので、
\(\left\{ \begin{array}{l} x + y = 0\\ x + 2y + 1 = 0 \end{array} \right.\) $\therefore$ \(\left\{ \begin{array}{1} x = 1 \\ y = -1 \end{array} \right.\)
(2)
左辺が0となるのは、$(x - 2y + z) = 0$ かつ $(2x + y - z - 1) = 0$ かつ $(x + y + z - 6) = 0$の時なので、
\(\left\{ \begin{array}{l} x - 2y + z = 0\\ 2x + y - z - 1 = 0\\ x + y + z - 6 = 0 \end{array} \right.\) $\therefore$ \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3 \end{array} \right.\)

だいたいこんな感じの解き方をします。

しかし、どうしてこの解き方で解が出るのでしょうか。

つまり、どうして他の解が無いと分かるのでしょうか。


解説
例えば、$Ak + B = 0$という式を見て下さい。

この会は、 $k = -\frac{B}{A}$となりますよね。

ここで、この式が$k$についての恒等式となるとき、どうなるでしょうか。

$k$の値に左右されず成り立つのが恒等式なので、kについての解を持たないわけです。

では、$k = -\frac{B}{A}$が解とならないためには、$-\frac{B}{A}$が不定になるのは、どの時でしょうか?

それは、$A = 0$ かつ $B = 0$ の時ですよね。

つまり、$Ak + B = 0$ が$k$についての恒等式となる条件は、 $A = 0$ かつ $B = 0$ のみとなるわけです。

ご理解頂けたでしょうか?

以上、恒等式についての解説でした。

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