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【数学】exp(x)の解析接続を、独自のやり方で直接的に理解する PART 2

By ぐろこーん

今回は、exp(x)を微分を使わず解析接続することで、理解を深めました。

ご了承ください

僕はまだあまり無限和、無限積を学習していません。

なので、何か間違っていても、ご了承ください。

また、その時は連絡をください。

PART 1 のお知らせ

この記事は、タイトル通り、PARTで分割されています。

パート1はこちらです。

【数学】exp(x)の解析接続を、独自のやり方で直接的に理解する PART 1

$e^x$を微分以外で解析接続を疑似的に理解する

それでは、PART 2 では、解析接続された状態の$e^x$をより理解できるような変形をしていきたいと思います。

まずは、$e^x$の解析接続の形ですが、無限和となっていますよね。

しかし、$e^x$とは、本来無限積の形であるはずです。

つまり、無限積→無限和の変換が行われている事が分かります。

では、積を和にするという事で、僕は二項定理に注目して考えてみました。

という事で、これから変形していきます。

\begin{eqnarray*} e^x &=& \lim_{h \to \infty}\left( 1 + \frac{1}{h} \right)^{xh} \\ \\ \text{ここで二項定理を使います。} \\ \\ &=& \lim_{h \to \infty} \sum_{k = 0}^{xh}{}_{xh} C_{k}\left(\frac{1}{h}\right)^{k} \\ \\ &=& \lim_{h \to \infty} \sum_{k = 0}^{xh}\frac{{}_{xh} P_{k}}{k!} \frac{1}{h^k} \\ \\ &=& \lim_{h \to \infty} \sum_{k = 0}^{xh}\frac{1}{k!} \frac{{}_{xh} P_{k}}{h^k}\tag{1} \\ \\ \end{eqnarray*} ここで一旦、$ \frac{{}_{xh} P_{k}}{h^k}$ を変形したいと思います。
上の式の中で変形しようとすると、少し分かりにくくなるからです。
また、今回は、x も h も k もただの文字として扱います。よっていちいち極限などを定義しません。
\begin{eqnarray*} {}_{xh} P_{k} &=& xh(xh - 1)(xh - 2)(xh - 2) \cdots (xh - k + 1) \\ \\ &=& xh^k + a_1 (xh)^{k - 1} + a_2 (xh)^{k - 2} + a_3 (xh)^{k - 3} + \cdots + a_{k - 1} (xh)^{2} + a_k (xh)^{0} \\ \end{eqnarray*} 両辺を$h^k$で割る。
\begin{eqnarray*} \frac{{}_{xh} P_{k}}{h^k} &=& x^k + \frac{1}{h}\left(\cdots \right) \tag{2}\\ \\ \end{eqnarray*} それでは(2)を(1)に代入します。
\begin{eqnarray*} e^x &=& \lim_{h \to \infty} \sum_{k = 0}^{xh} \frac{1}{k!}\left(x^k + \frac{1}{h}(\cdots)\right) \\ \\ &=& \lim_{h \to \infty} \sum_{k = 0}^{xh} \left(\frac{x^k}{k!} + \frac{1}{h}(\cdots)\right) \\ \\ \text{ここで、}\lim_{h \to \infty}\frac{1}{h}(\cdots) \to 0 \text{より、} \\ \\ &=& \lim_{h \to \infty} \sum_{k = 0}^{xh} \frac{x^k}{k!} \\ \\ \text{また、}\lim_{h \to \infty}xh \to \infty \text{よりt = xhとおくと、} \\ \\ &=& \lim_{t \to \infty} \sum_{k = 0}^{t} \frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}

はい、どうでしょうか?

こちらの解析接続のほうが、人間としては理解しやすいと思います。

まぁ、無理やり感はありますが、一応解析接続できます。

という訳で、今回は終了です。

終えて感想

今回は、結構書くのに時間がかかりました。

しかし、久しぶりに数学の記事が書けたので、すっきりしました。

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