【数学】exp(x)の解析接続を、独自のやり方で直接的に理解する PART 1

\begin{eqnarray*} y &=& e^x\\ \\ \frac{dy}{dx} &=& \lim_{h \to 0}\frac{e^{x + h} - e^x}{h} \\ \\ &=& \lim_{h \to 0}\frac{e^x e^h - e^x}{h} \\ \\ &=& e^x\lim_{h \to 0}\frac{e^h - 1}{h} \\ \\ &=& e^x\lim_{h \to 0}\frac{\left(\left(1 + h\right)^\frac{1}{h}\right)^h - 1}{h} \\ \\ &=& e^x\lim_{h \to 0}\frac{\left(1 + h\right)^{\frac{1}{h} \cdot h}}{h} \\ \\ &=& e^x\lim_{h \to 0}\frac{1 + h - 1}{h} \\ \\ &=& e^x \\ \\ \end{eqnarray*}

\[ e^x = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots \tag{1} \\ \\ \] とおく。（$a_n$を$x^n$の係数とおく。）
(1)に x = 0を代入すると、
\[ 1 = a_0 \tag{2} \\ \\ \] (1)で両辺を微分すると、
\[ e^x = a_1 + 2 a_2 x + 3 a_4 x^2 + 4 a_4 x^3 + \cdots \tag{3} \\ \\ \] これに x = 0 を代入すると、
\[ 1 = a_1 \tag{4} \\ \\ \] さらに(3)で両辺を微分すると、
\[ e^x = 2 \cdot 1 a_2 + 3 \cdot 2 a_3 x + 4 \cdot 3 a_4 x^2 + 5 \cdot 4 a_5 x^3 + \cdots \tag{5} \\ \\ \] これに x = 0 を代入すると、
\[ 1 = 2! a_2 \\ \\ a_2 = \frac{1}{2!} \tag{6} \\ \\ \] このように、$a_n$ は $n!$ と一致する事が分かる。
(1)で両辺をn階微分して、x = 0 を代入すると、
\[ 1 = n! a_n \\ \\ a_n = \frac{1}{n!} \\ \\ \] よって、 \begin{eqnarray*} e^x &=& \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \\ \\ &=& 1 + \frac{x}{1} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \end{eqnarray*}